テイラー展開の問題

質問

x=1/2を中心に

f(x)=1/(x^2 - x +1)

をテイラー展開せよ。また、その収束半径を求めよ。

という問題があります。

テイラー展開の公式はわかりますが、f(x)の1次、2次、3次...の微分を順次に求めていっても
規則性が見つかりませんでした。

どなた分かる方がいらっしゃいました、ご教授お願いいたします！

回答No.3

hugen · ベストアンサー

x = 1/2 + h
1/(x^2 - x +1) = 1/(h^2 + 3/4)
=1/(3/4){1+(4h^2/3)}
= (4/3)/(1 + □)
= (4/3)(1 - □ + □□ - □□□ + ・・・ )

お礼

ご丁寧にご解答いただき、ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.2

info22_

a=3/4として
1/(x+a)=1/a-x/a^2+x^2/a^3- … +(-1)^n*x^n/a^(n+1)+ …
このテイラー展開なら分かるでしょう。

xをx^2で置き換えると
1/(x^2+a)
=1/a-x^2/a^2+x^4/a^3- … +(-1)^n*x^(2n)/a^(n+1)+ …

更にxを(x-1/2)で置き換えると
1/((x-1/2)^2+a^2)=1/(x^2-x+1)
=1/a-(x-1/2)^2/a^2+(x-1/2)^4/a^3- …
+(-1)^n*(x-1/2)^(2n)/a^(n+1)+ …

のように考えれば規則性や収束半径が見えてきませんか？

お礼

ご丁寧にご解答いただき、ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

1/(x^2+(3/4)) を x=0 のまわりでテイラー展開することはできますか?

お礼

ご解答、ありがとうございます。