logのテイラー展開と多価

質問

自然対数log(x)を複素数で定義すると多価になります。
一方で、テイラー展開した式には多価性は出てきません。
log(1+x)=Σ[n=1,∞]{(-1)^(n+1)/n*x^n}

質問１．テイラー展開すると、何故多価でなくなるのでしょうか？

質問２．テイラー展開の式から、多価性を導き出せますか？
つまり、テイラー展開した式からlog(1+x)=log(1+x)+2πiが求まりますか？

回答No.3

hugen · ベストアンサー

f(z)=f(0)+f'(0)z+(1/2!)f''(0)z^2+・・・　　（テイラー展開　）
f(z)=log(1+z)　とすると
f'(z)=1/(1+z) , f''(z)=-1/(1+z)^2 , ・・・
f(0)=log1 , f'(0)=1 , f''(0)=-1 , ・・・
-----------------------------------------------------
log(1+z)=log1+z-(1/2)z^2+・・・＝2nπi+z-(1/2)z^2+・・・
n=0 のときの
log(1+z)=z-(1/2)z^2+・・・=Log(1+z)　　と表わすと
最初の式は
log(1+z)＝2nπi+z-(1/2)z^2+・・・＝2nπi+Log(1+z)

お礼

素直に回答していただき、ありがとうございます。

＞log(1+z)=log1+z-(1/2)z^2+・・・＝2nπi+z-(1/2)z^2+・・・

f(0)=log1に2nπiが含まれているのを、通常のテイラー展開では０と見なしているから、多価になっていない、ということですね。

質問２は、そこから直接導くのではなく、通常のテイラー展開の式から導いて欲しいのです。
No.1,2の回答からすると、解析接続が一つの方法らしいですが…

ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

No.1 の人は、ちゃんと答えていますよ。読み取る能力の問題かと。
＞ そして収束半径はどうなってる？
＞ 収束円内に原点は入る？

テイラー展開は、展開した級数が収束する範囲でだけ、意味を持ちます。
log(1+x) = Σ[n=1,∞] { (-1)^(n+1)/n * x^n } は、右辺が収束する
|x| < 1 でだけ成立する等式だということ。つまり、
関数をテイラー展開した時点で、定義域を限定して考えているのです。
質問１の答えは、「定義域を限定したから」です。

log x の多価性は、複素平面上、原点を取り囲む閉曲線に沿って
点 x から点 x まで、無限個ある log x の値の候補中から曲線上での
log x の値が連続になるように選び出しながら一周すると、出発点の
x へ戻ってきた時に log x の値が最初とは違っている
ということから生じます。一周する閉曲線が原点を囲んでいなければ、
戻ってきた時の値は、最初と同じです。これが、コーシーの積分定理。
log(1+x) のテイラー級数は、定義域内に x = -1 を持ちませんから、
log 0 を囲む閉曲線を一周することができません。

質問２の答えは、「できない。そのアプローチは適切でない。」
log(1+x) の多価性を log(1) の多価性に帰着させれば、No.3 のように
書くことはできます。が、log(1) の多価性がどこから来るかと言うと…
それは、テイラー級数の収束円ごとに分離してしまったことによって
繋がりの断たれた、log(1+x) の各枝の相互関係から生じてくるのです。
その相互関係を把握するためには、やはり、各枝が連続に繋がる場所、
log 0 の近傍で考える必要があります。

お礼

＞質問１の答えは、「定義域を限定したから」です。

これも答えですね。
原点を含まない形で定義してしまうと、多価性が表れないということですね。
あるいは、定義域を限定したことで、枝の１つだけを見ることになるから、とも言えるのでしょうか。

＞質問２の答えは、「できない。そのアプローチは適切でない。」

原点を一周しなければならないので、No.1,2で出てきた解析接続かなと、思ってはいるのですが…

ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

やっぱりわかってないなあ・・・・

logってのは，原点の周りを回らなければ
多価にはならない（ようにできる）．
log(1+x)のTalor展開っていった場合
そもそも多価とは考えない．

>質問２の答は、書かれていないようですね。
書いてるんだけどなあ，読み取れないのかなあ．
そもそも，log(1+x)ってのはTayorを考えた段階で
多価性をなくして考えてるわけ．
Taylor展開の大前提としては
「多価にならない部分で考える」ってこともある．
だからTaylor展開そのものから多価性が
ストレートにでてくるわけではない．
「Taylor展開できる」ことの証明には
多価関数なんてでてこないでしょう．一価正則が前提でしょう？
＃Taylor展開の証明を見たことない？
＃Cauchyの積分定理知ってる？

なんか書くだけ無駄かもしれないけど
きちんと勉強して「解析接続」を理解できればわかるよ，多分．
級数で「局所的」に定義されている正則関数を
微妙にずらして定義域を膨らませていくことができる．
Taylor展開で定義されたlog(1+z)ってのも
解析接続とかしてz=-1を一回りさせれば多価性がでてくる．
これは「Taylor展開から求まる」ということからは
違うレベルの話になっていると思う．

それより何より
局所的に考えるもの（Taylor展開）と
大域的に考えるもの（多価性とか）が
ごっちゃになってる気もするな．

お礼

＞だからTaylor展開そのものから多価性が
＞ストレートにでてくるわけではない．

理解しています。

＞解析接続とかしてz=-1を一回りさせれば多価性がでてくる．
＞これは「Taylor展開から求まる」ということからは
＞違うレベルの話になっていると思う．

解析接続で多価性が出てくるのであれば、それで構わないのですが。

＞局所的に考えるもの（Taylor展開）と
＞大域的に考えるもの（多価性とか）が
＞ごっちゃになってる気もするな．

大域的なものを局所的に考えると、多価性が失われる、という話ですね。（→質問１）
逆に、局所的なものを大域的に考えると、多価性が表れる、という話をしていただきたいのですが…（→質問２）

ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

すこしは本を読んで勉強しましょう．
Wikipediaで十分とか前にいってたけど
百科事典的なものは「分かってる人が参照する」ものであって，
分かってない人がみてもそれほど役には立ちません．
複素関数論の初歩的な本にはふつうにでています．

さて・・・logが多価なのは
「原点」という「特異点」の周りを
周回するから多価なの．
そしてlogのTaylor展開ってのは，log(x)じゃなくって
log(1+x)でしょう？
そして収束半径はどうなってる？
収束円内に原点は入る？

それから，
>テイラー展開した式には多価性は出てきません。
そりゃそうです．
log(1+x)で十分xに近い近傍では「実軸」があり，
このTaylor展開は「実軸での普通の対数」を含んだものだから．
もし別の枝で考えるなら，
適当に2nπiを足してあげればいいのだけども
本質ではないから，
そういうことは煩雑になるだけでしない．

もうちょっと細かく言うと，
通常は，慣習的に，対数関数は
Cから負の実軸(-∞,0]を取り除いた領域で考えることで
多価性を排除するわけ（別に負の実軸である必要はないんだけども
実数のときの兼ね合いでこうすることが多い）．
そして，偏角として-π<θ<πとなるものをとる．
これが対数関数の「主枝」とか「主値」とかいうもので
Taylor展開はこういう条件のもとのlog(1+x)で書かれるのが普通．
他の枝のTayor展開が欲しければ容易に得ることができるから
これで十分だし，理論を展開する上でも
定数部分はほとんど意味をなさないのです．
＃解析接続とかリーマン面をいじるならまた話は
＃かわってくるけど，それはきっと別のお話でしょう．

こういうのが理解できてないんなら，
累乗根の多価性も多分理解できてないわけで
x^yが原点周りでどれだけ変な動きしてるかは
はるか遠くのお話です．
＃ちなみに多変数の複素関数論はまじめにやると相当に厄介．

お礼

＞さて・・・logが多価なのは
＞「原点」という「特異点」の周りを
＞周回するから多価なの．

これは、質問１の答と思われますが、分かり難いですね。
テイラー展開の過程のここで多価性が失われる、という答を期待したのですが…

質問２の答は、書かれていないようですね。

なお、この質問は、以前の質問と関係ありません。

ありがとうございました。