lnx のテイラー展開について

質問

lnx を、ｘ＝１でテイラー展開したとき、
テイラー級数が、区間(0,2]で lnx に収束することを
余剰項 R_n をつかって、区間(0,2]で

lim　 　| R_n |＝ lim { 1/(n + 1) }*| (x - 1)/z |^(n+1) = 0
n -> ∞ 　　　 n -> ∞

(zはxと1の間の数)

とすることで証明したいのですが、どうしても０に収束させることが
できません、、、やり方を知っている方がいたら教えてください。
ｚのとり方だけでもかまいません。

回答No.2

totoro7683 · ベストアンサー

1/2≦x≦2 の収束はラグランジュの剰余項を用いて、
０＜ｘ＜１の収束はコーシーの剰余項を用いて示せます。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/taylor.htm
まずはラグランジュの剰余項を用いて
f(x)=log x
=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-...+(-1)^{n-1}(x-1)^n/n+R_n
R_n=f^(n+1)(z)/(n+1)!=(-1)^n/(n+1)((x-1)/z)^(n+1)
z=1+c(x-1) 0<c<1　(*)
(*) より　1<xのときは1<z<x
したがってｘ≦２のときは
(x-1)/z < x-1 ≦1
（＊）より　x<1　のときはx <z <1 であるから
1/2≦x のとき
|(x-1)/z|=(1-x)/z < (1-x)/x ≦１
従って1/2≦x≦2 のときは|(x-1)/z|≦１となり
|Rn|は　n -> ∞ のとき０に収束します。
0<x<1　のときはコーシーの剰余項を用います。
Rn=(-1)^n/z^{n+1}(1-c)^n(x-1)^{n+1} z=1+c(x-1) 0<c<1
0<x<1 のとき
|(x-1)/z|=(1-x)/(1+c(x-1)) <(1-x)/(1-c(1-x))< (1-x)/(1-c)
従って
|Rn|<((1-x)/(1-c))^{n+1}(1-c)^n=(1-x)/(1-c)(1-x)^n
0<x<1より0<1-x<1 従って｜Rn|は　n -> ∞ のとき０に収束します

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/taylor.htm

お礼

返事が遅れてしまって本当にすみません。

解答ありがとうございます！
totoro7683さんの説明でやっと理解できました。
コーシーの剰余項
R_n = [{d^(n+1) f(z)/dx^(n+1)}/n!]*(1-c)^n(x-1)^(n+1)

0<c<1 ,　z = 1+c(x-1)

を使えば
0<x<1でR_n は0に収束するといえるのですね。
0に収束させるためのzの置換の方法は大変参考になりました！
本当にありがとうございます。

回答No.1

noname#21330

(x - 1)/z≦1
でないと収束しないのでは、
名前は忘れましたが、分母分子を微分するやつでそうなりますね？

補足

解答ありがとうございます。
やはり上の R_n の式では　1 =< x =< 2
でしか収束しないみたいですね、、、

ということは、もう一つの形の、積分を用いて表す剰余項、

R_n=IN_(from 1 to x) [{(x-z)^(n-1)}/(n-1)!]*{d^n f(z)/dx^n}]dz

を使って区間(0,2]で lnx に収束することを示すのでしょうか？