logx/(x-1) を x=1 においてテイラー展開せよ。

質問

f(x) = logx/(x-1)　を　x=1　においてテイラー展開せよ。
という問題があるのですが解答では、g = logxとおいて、gのn階微分=...よりgのテイラー展開を求めて、その後、f(x)のテイラー展開を求めるのですが、この手順の意味が分かりません。

そもそもf(x)のテイラー展開の第一項目の、f(0)は、分母が0になるので、求められないよなぁと思ってしまいます。（多分その解決策としての上記の方法なのかもしれませんが）

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。＃１さんも指摘してくださっている通りlogxのテイラー展開を求めて、x-1で割るのが一般的な解法だと思います。
このまま解答を書いてもよいのですが、それでは質問者さんの勉強にはならないのでヒントを書きたいと思います。

1+r+r^2+r^3+… ＝ 1/(1-r) 幾何級数

を利用して

1/x ＝ 1/{1-(1-x)} ＝ 1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+…

の両辺を項別積分します。そうすると x=1 におけるlogxのテイラー展開となります。

(1-x)^n＝(-1)^n・(x-1)^n として式を書き直して (x-1)で割れば

f(x) ＝ logx/(x-1)　の　x=1　におけるテイラー展開となります。

※項別積分できる理由や幾何級数の収束半径などはご自分で調べてください。
質問や実際に解いてみた解答等は遠慮なく補足に書いてください。

お礼

回答ありがとうございます。
＞logxのテイラー展開を求めて、x-1で割る
与式を計算するのに、分母だけテイラー展開して、テイラー展開していない分子で割る、という計算が成り立つということが分かりませんでした。
そうしてもいいのですね。

回答No.1

info22

> g = logxとおいて、gのn階微分=...よりgのテイラー展開を求めて、その後、f(x)のテイラー展開を求めるのですが、この手順の意味が分かりません。

沢山の類似問題を解けばg(x)のtaylor展開をして(x-a)で割る展開の方が計算がずっと楽なことに気が付くはずです。
x=aでtaylor展開する場合(x-a)のべき乗で展開する場合
f(x)の分母に(x-a)が含まれる場合は
分母の(x-a)の項を除いてg(x)をtaylor展開したものを(x-a)で割る方法が定石です。その方が微係数の計算が簡単だからですね。

>　そもそもf(x)のテイラー展開の第一項目の、f(0)は、分母が0になるので、求められないよなぁと思ってしまいます。（多分その解決策としての上記の方法なのかもしれませんが）

問題の出題者の狙いにはまって諦めていては駄目です。
>f(0)は、分母が0になる
f(0)はf(1)の勘違いでは。x=1の周りの展開ですよ。
f(x)はx=1で未定義ですが x→1でf(x)の極限値は存在するので展開できるのです。

>（多分その解決策としての上記の方法なのかもしれませんが）
わざわざヒントがあるわけですから素直にやれば簡単にできますのでそうして下さい。

補足に、自分でやった、できる範囲の解答を書いて分からない箇所を具体的に質問して下さい。