対数積分公式の問題

質問

対数積分公式を使用して以下問題の解答までの計算過程を御教授下さい。

公式
∫f '(x)/f (x) dx = log f(x)

問題
1/(x-1) + 2/(x-2)^2 + 1/(x-1)^3
解答
log(x-1) - 2/x-1 - 1/2(x-1)^2

回答No.4

kesexyoki

No.2，3です。
確かに色々あります。しかし、負の数にはならないです。

回答No.3

kesexyoki

No.2です。
まず、「てい」は「底」ですね。「低」ではありません。
本問で言えば、省略されているe（自然対数の底）です。

底の取り得る範囲は、0<底<1、1<底です。
指数関数を考えたときに例えばy=(－3)^xという関数は定義できないので。指数関数で言うと、「－3」の部分が底です。
何故定義できないかというと、(-3)^(1/2)=√(-3)ですから、実数値になりませんね。
1を除いているのは、y=1^x=1、つまり定数関数になるからです。x軸に平行な直線ですね。

一方、真数は"log"の右側に書いてあるものですね。
で、対数が出てきたら必ず考えなければならない性質として、『真数>0』（真数条件）があります。

因みに底が負の値をとれば、真数部分も負の値を取り得るわけですが、上に述べたように底は正の数で考えます。

従って、例えば∫(2x)/(x^2+1)dxであれば、x^2+1は負の数をとりませんから、log(x^2+1)と答えて構いません。
しかし本問では、x-1は負の数もとりますので、log|x-1|と答えなくてはなりません。

因みに、(logX)'=(log|x|)'も成り立ちます。従って、積分したときには絶対値記号をつけます。

補足

詳しい説明ありがとう御座います。

>底の取り得る範囲は、0<底<1、1<底です。
底は特に上記の範囲とは限らないのではないでしょうか？

底が省略されている場合eなんでしょうけど２、１０進数いろいろ
ありますよね？

回答No.2

kesexyoki

要は「公式」というのは、∫(分母)'/(分母)dx=log|分母|ってことですから、
第1項は∫1/(x-1)dx=∫(x-1)'/(x-1)dx=log|x-1|となります。

（質問者さんの公式には絶対値記号がついていませんが、||をつけないと減点されるのでは？）

2項目と3項目はいいですよね？

お礼

すみません

補足に「真数」と書きましたが「低」の間違いです。
それと、真数の絶対値と、低の符号との関連性は検討違いです
忘れて頂きたい。

「真数」の絶対値は条件として真数が０より上を与えられた時なんでしょうかね？

補足

通常は絶対値の記号をつけるのが一般的なんでしょうか・・・

真数(進数?)なんだからマイナスなんて考える必要ないってことなんでしょうかね？

回答No.1

spring135

対数積分公式など持ち出す必要のない初歩中の初歩の積分です。

∫dx/(x-c)=log(x-c)

∫dx/(x-c)^n= (1-n)/(x-c)^(n-1)

cは1でも2でもよろしい。

nは2以上の整数としておきましょう。

積分定数は省略しています。

お礼

早速、ご回答ありがとうございます。
また簡単な積分方法を教えて頂きありがとうござます。

この問題は自分も置換積分法で解けました。
ただあえて教科書に対数積分公式で解くように
ありましたが解けなかったので投稿したしだいです。

補足

問題に関して記述ミスをしていました。

×問題
1/(x-1) + 2/(x-2)^2 + 1/(x-1)^3

○問題
1/(x-1) + 2/(x-1)^2 + 1/(x-1)^3