微積の問題なんですが…

質問

微積の問題なんですが…

(1+x)^1/3のテイラー展開がわかりません。
答えには
1+1/3x-1/9x^2+‥+｛(-1)^(n+1)・(3n-4)‼︎!｝/(3n)!!!のx^n+o(x^n)
となっています。
-1の階乗はn+1じゃなくて n-1じゃダメなんですか？
あと(3n)!!!ってどういう計算になるんですか？なぜ(3n)!!じゃないんですか？

お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

テイラー展開の公式どおりですよね。

(d/dx) (1+x)^(1/3) [x=0] = (1/3)(1+x)^(1/3 - 1) [x=0] = 1/3.
(d/dx)^2 (1+x)^(1/3) [x=0] = (1/3) (d/dx) (1+x)^(-2/3) [x=0]
　　　　　　　　　　　　　　　　= (1/3)(-2/3) (1+x)^(-5/3) [x=0] = (1/3)(-2/3).
(d/dx)^3 (1+x)^(1/3) [x=0] = (1/3) (d/dx)^2 (1+x)^(-2/3) [x=0]
　　　　　　　　　　　　　　　　= (1/3)(-2/3) (d/dx) (1+x)^(-5/3) [x=0]
　　　　　　　　　　　　　　　　= (1/3)(-2/3)(-5/3) (d/dx) (1+x)^(-8/3) [x=0] = (1/3)(-2/3)(-5/3).
(d/dx)^4 (1+x)^(1/3) [x=0] = …

から、容易に予想でき、数学的帰納法で証明できるように、
(d/dx)^n (1+x)^(1/3) [x=0] = Π[k=0…n-1] (1/3 - k) です。
Π[k=0…n-1] は、「総積記号」といって、k=0…n-1 について全部掛けるという意味、
総和記号 Σ[k=0…n-1] のイトコみたいなもんです。

これを使って、(1+x)^(1/3) のマクローリン展開は、
(1+x)^(1/3) = 1 + Σ[n=1…n] Π[k=0…n-1] (1/3 - k) (1/n!) x^n + o(x^n).
それだけの、素直な話です。

質問の式は、総積記号の使用を避けるために、技巧的なことをしています。
三重階乗記号 n!!! = Π[k=0…floor(n/3)] (n - 3k) を使って、
表面上 Π[k=0…n-1] が現れないように、
Π[k=0…n-1] (1/3 - k) (1/n!) = {(-1)^(n+1)・(3n-4)!!!}/(3n)!!!
と変形しているのです。

どちらかといえば、三重階乗のほうが、総積記号よりもマイナーで、
あまり褒められた書き方とは言えません。

＞ -1の階乗はn+1じゃなくて n-1じゃダメなんですか？
いいですよ、任意の非負整数 n について (-1)^(n+1) = (-1)^(n-1) なので、
どっちで書いても全く同じです。好きな方を使えばいい。

Π[k=0…n-1] (1/3 - k) の符号部分だけを考えると (-1)^(n-1) というのは、
わかりやすい話だと思います。

＞ あと(3n)!!!ってどういう計算になるんですか？なぜ(3n)!!じゃないんですか？
(3n)!!! = (3n)(3n-3)(3n-6)…3・1,
(3n)!! = (3n)(3n-2)(3n-4)…3・1 または (3n)(3n-2)(3n-4)…4・2 です。
! の個数が、因子から次の因子へ減らしてゆく数を表します。
「多重階乗」といいますが、好事家しか知らない記号です。

お礼

丁寧にありがとうございます。よく理解することができました！

回答No.2

info22_

>-1の階乗はn+1じゃなくて n-1じゃダメなんですか？
nはn=0,1,2,3,…という値をとりますから
-1の階乗が(n+1)なら　階乗はn+1=1,2,3,4,…と自然数の
1から増加していきます（全て正の整数）が、

-1の階乗が(n-1)とした場合、階乗はn-1=-1,0,1,2,,…と-1から増加していくので、間違いではないものの、(-1)^(n-1)は良い表現とは言えません。
なので、-1の階乗はn+1としましょう。

>あと(3n)!!!ってどういう計算になるんですか？
3重階乗：(3n)!!!=(3^n)*n!です。
3重階乗の定義
　k!!!=k*(k-3)*(k-3*2)*(k-3*3)*…*m
　mはkを3で割った余り。但し余りが0の時はm=3とする。

>なぜ(3n)!!じゃないんですか？
(3n)!!=(3n)(3n-2)(3n-4)…m
　(mは,3nが奇数ならm=1,3nが偶数ならm=2)
で(3n)!!!に等しくないのでダメです。

>(1+x)^(1/3) のテイラー展開がわかりません。
テイラー展開(マクローリン展開)の定義式にしたがって計算するだけでしょう。何が分からないのでしょうか？定義式は教科書、参考書、ネット上に載っています。

マクローリン展開すると
(1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+‥+a[n]*x^n +o(x^n)
a[n]=f^(n)(0)/n!
=(1/3)(-2/3)(-5/3)(-8/3)…(-(2+3(n-2))/3)/n!
=(1/3)((-1)^(n-1))*2*5*8*…(3n-4)/((3^(n-1))*n!)
=((-1)^(n-1))*2*5*8*…(3n-4)/((3^n)*n!)
={((-1)^(n+1))(3n-4)!!!/(3n)!!!
となって

>答えには
>1+(1/3)x-(1/9)x^2+‥+{((-1)^(n+1))(3n-4)‼︎!｝/(3n)!!!のx^n+o(x^n)

この答えの式に一致します。

お礼

ありがとうございます。テイラー展開自体がわからないのではなく、n-1のところや(3n)!!!のところがわかりませんでした。でも、丁寧に解説されていてさらに理解できました。

回答No.1

spring135

>-1の階乗はn+1じゃなくて n-1じゃダメなんですか？

n項目は(-1)^(n+1)になるといっているのであって、ここだけn-1にすると3n-4と混乱が生じないようにしてあります。

＞あと(3n)!!!ってどういう計算になるんですか？なぜ(3n)!!じゃないんですか？

!!は偶数の階乗をとるなどの意味ですが、一般的な記号でないので必ず断ってから使用されているはずです。

!!!なんて見たことありませんが意味をよく理解してから質問してください。

お礼

ありがとうございます。n-1のところだけでも、こんなに早く回答がもらえて助かりました。