σ集合体の証明
集合体の証明の問題です。
問：Fをσ集合体とするとき、以下を示せ。
（１）Fは集合体である
（２）A1,A2,…,An,…∈F ⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
(i)∩(i=1,∞)Ai∈F
(ii)lim(n→∞)supAn∈F
(２)の記述がわかりづらいですが、A1から始まる無限大の和集合がFに含まれる、(i)はA1から始まる無限大の積集合である、という意味です。(ii)はn→∞がlimの下にくれば正しい記述になります。
(１)は、集合体であるための定義、
・φ∈F
・A∈F⇒Aｃ(Aの補集合)∈F
・A,B∈F⇒A∪B∈F
を示せればよいのでしょうか？
そうだとしたら、σ集合体であるということは、
・φ∈F
・A∈F⇒Aｃ(Aの補集合)∈F
・A1,A2,…,An,…∈F⇒ ∪(i=1,∞)Ai∈F
ということなので、これらを使って証明していけばいいのでしょうか？
(２)については証明の予想が立ちません…。
わかる方、解説お願いします！
