以下の証明を考えています。

質問

Ａ集合がコンパクト（Compact)で、Ｂが閉集合であり、ＡとＢの共通部分が空集合であるとする。点aはＡ集合、bはＢ集合に属する。このとき、

d(A, B) = ||a-b|| >0

であることを証明せよという問題です。

まず第一にＢが有界である時は、ＡとＢの共通部分が空集合であるから明らかに両者の距離は０ではないとしました。

第二のＢが有界でないときの証明でご意見をお伺いしたいのです。

Ａ集合（Ｂ集合）のある数列Ak（Bk)が、kが無限に近づくにつれて点a(点b)に近づくとします。すると、Ａ集合が有界であることから、

||Ak||< or = M for some M>0

が言え、またＢ集合はＡ集合との共通部分が無く、有界でもないことから

||Bk||>M

が言えるとし、

||Ak-Bk||=||Bk-Ak||>||Bk||-||Ak||>0

としたんですが、これにはかなり無理があるように思えます。どなたかご教授ください。よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＃コメントつかないですね。。。

ええっと，まず，問題の情報が不足なんです

おそらく，n次元ユークリッド空間を
ふつうの距離（二乗和のルート）で距離空間と
みなして，そこで考えてるんですよね
それから
d(A,B)の定義は ||a-b|| ではなくて
aをAの中で，bをBの中で動かしたときの
下限ですよね？

上記のような推測のもとで考えると
残念ながら証明は間違ってます

Bがともに有界で，共通部分が空でも
d(A,B)が0になることはあります．
一次元で考えて
A={0} B=(0,1]なんかだとd(A,B)=0です
閉だという条件がポイントなんです．

話を簡単にするために
Aは一点（一般性を失わずに原点Oとできます）
Bは閉集合とします．
このとき，
d(A,B)=\inf_{bはBの要素} ||b||
とおけます．
したがって，Bの点列{b_k}で
k -> ∞ のとき，||b_k|| -> d となるものが
とれます．
このとき，必要ならば{b_k}の部分列をとることにして
{b_k}は収束すると仮定します．
＃ここで集積点の存在を使ってますが
＃（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理）
＃Bは有界とは限りません．しかし，
＃||b_k|| -> d なので
＃{b_k}が存在する領域は有界ですので，OKです

さて，Bは「閉集合」なので，
{b_k}の収束先をβとするとβはBの点です
そして，AとBは共通部分を持たないので
βはAの点（つまり原点）ではないので
d(A,B)=||β|| > 0

今はAを一点と仮定しましたが
Aをコンパクトとしても同様だと思います
コンパクトまではいらないようにも思いますが
深くは考えてません
＃一般の距離空間でもOKなような気もします

お礼

大変丁寧な解答をどうもありがとうございました。いかんせん日本語で数学の問題を解説するのが苦手なもので、説明不足でご迷惑をおかけします。またよろしくお願いします。