集合について証明お願いします。

質問

集合A,Bについて、

(1) f^-1(A∩B)=f^-1(A)∩f^-1(B)

(2) f^-1(A∪B)=f^-1(A)∪f^-1(B)

の証明の仕方が分かりません。
どなたかご教授お願いします。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

記号f^-1の説明が何もないので証明不能です。想像するに、写像fの逆像に関する証明なのでしょう。
省略しないようにしましょう。さて、そうなら、f^-1(・)も結局集合のことですから、集合が等しいことを証明するわけです。
以下ヒント
集合S,TがあってS=Tを証明するには、S⊂TかつT⊂Sを証明する。
S⊂Tを証明するには∀x∈S⇒∀x∈Tを言えばよい。
(1)f^-1(A∩B)=f^-1(A)∩f^-1(B)　を証明したいのだから
f^-1(A∩B) ⊂ f^-1(A)∩f^-1(B) かつ f^-1(A)∩f^-1(B) ⊂ f^-1(A∩B)　を言えばよい
前半の証明
x∈f^-1(A∩B) とすると逆像の定義よりf(x)∈A∩B　なので　f(x)∈Aかつf(x)∈B
なのでx∈f^-1(A)かつx∈f^-1(B)　なので　x∈f^-1(A)∩f^-1(B) ここまでxは任意のx∈f^-1(A∩B) で成り立つから
∀x∈f^-1(A∩B) ⇒ ∀x∈f^-1(A)∩f^-1(B) よってf^-1(A∩B)⊂f^-1(A)∩f^-1(B)
ぎゃくも同様に証明できるので。やってみてください。
(2)も同様に証明します。

お礼

ありがとうございます。よく分かりました。

回答No.2

MagicianKuma

筆が滑りました。S⊂Tを証明するには∀x∈S ⇒ x∈T を言えば良い。の間違いです。後の∀は不要です。