数学の極値の問題なんですけど、わかりません

質問

定数aは1より大きいものとし,関数f(x)=x/(cosx-a) (0<x<2π)は極値をもつとする。

aの値の範囲を求めよ。
の問題で
f(x)'=cosx-a+xsinx/(cosx-a)^2
で分母は＋なので
g(x)=cosx-axsinxとおくと
g(x)'=xcosx
g(x)'=0となるのは x=０,π/2 3π/2

g(0)=g(2π)=1-a
g(π/2)=π/2-a
g(3π/2)=-3π/2-a
0＜x＜π/2のとき、g'(x)＞0
π/2＜x＜3π/2のとき、g'(x)＜0
3π/2＜x＜2πのとき、g'(x)＞0

よってa＞1 より
１＜a＜３π/2としたのですが、答えを見たら１＜a＜π/2となっていました
増減が変わるのは、π/2＜x＜3π/2のときなのにどうしてπ/2になるのですか？

回答No.3

info222_

>１＜a＜３π/2としたのですが、答えを見たら１＜a＜π/2となっていました
増減が変わるのは、π/2＜x＜3π/2のときなのにどうしてπ/2になるのですか？

f(x)の増減をg(x)の増減に置き換えたことが間違いの最大の原因です。

置き換えの適用は
>f ' (x)=cosx-a+xsinx/(cosx-a)^2
>で分母は＋なので
>g(x)=cosx-axsinxとおくと
>g(x)'=xcosx
>g(x)'=0となるのは x=０,π/2 3π/2

>g(0)=g(2π)=1-a
>g(π/2)=π/2-a
>g(3π/2)=-3π/2-a
>0＜x＜π/2のとき、g'(x)＞0
>π/2＜x＜3π/2のとき、g'(x)＜0
>3π/2＜x＜2πのとき、g'(x)＞0

↑これってf'(x)の分子であるg(x)の極値を調べてませんか？
この問題の極値はf(x)の極値であって、f ' (x)の分子のg(x)の極値ではありません。
勘違いしてませんか？

ちなみに、0<a<π/2で f '(x)の符号が正負に変化してf(x）は極値を持ちますが
π/2<aでは　f ' (x)<0 (0<x<2π), g(x)<0 (0<x<2π)なので
f (x) (0<x<2π) は（単調）減少関数となり f (x)は極値を持ちません。

回答No.2

Tacosan

確かに π/2 < x < 3π/2 のとき g'(x) < 0 だけど, 「aとg(x)の大小関係が変わった」というのはどういうこと?

具体的には, a と g(x) の大小関係がどのような x のときにはどうだったのがどのような x のときにはどのようになったといいたいのでしょうか?

補足

はいそうです
ごめんなさい分かりにくくて

回答No.1

Tacosan

とりあえず最後の
よってa＞1 より
１＜a＜３π/2とした
のところ, もっと詳しく説明してもらえませんか?

どこから「増減が変わるのは、π/2＜x＜3π/2のとき」となったのかが謎.

補足

π/2＜x＜3π/2のとき、g'(x)＜0 となって
aとg(x)の大小関係が変わったので、そうしました