極値の求め方

質問

f(x)=(logx)^2／x〔0＜x〕の極値を求めなさい。

という問題で、まず導関数f'(x)を求めると

f'(x)=logx(2-logx)／x^2となりました。

ここで学校で教わったとおりだと、f'(x)=0となるxの値を求めて、増減表を書けばすぐに解けると思うのですが、あえて「極値とは導関数の符号が変化する点のxの値」という本質（増減表の利用も同じことを言っているのですが…）から考えるとします。

するとf'(x)の分母は２乗ですから常に正となり、符合の変化に関与しません。そこでf'(x)の分子だけに着目し、これをg(x)とします。そしてg'(x)を求めると、

g'(x)=2(1-logx)／x

よってg'(x)の符号は分子から考えてeの前後で変化します。ゆえにg(x)の増減もeの前後で変化します。さらにこれはf'(x)の分子でありますから、結局はg'(x)のの符号変化がf'(x)符号変化までたどり着き、f(x)はx=eで極値をとると判断しました。

しかし…このやり方だと増減表のやり方でやった答えと違い、もちろん増減表でやったほうの答えが正答です。

どこで考え方が間違っていたのでしょうか？
長くなってしまいましたが、アドバイスよろしくお願いします！

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

f'(x)の分子をg(x)とおきました。

なので、g(x)＝０となるｘの前後の符号変化を見なければいけません。

g'(x)＝０となるｘの前後の符号変化を見ても意味がないです。

お礼

まったくご指摘の通りです！
g'(x)はg(x)の変化を調べるための道具にすぎないのに、うっかりg'(x)の変化を調べていました．．．
こんなくだらない質問に答えていただきありがとうございます！

回答No.2

kony0

“極値をとる値”を算式で表現すれば、「f'(x)=0かつ十分小さい正の数εに対してf'(x-ε)*f'(x+ε)>0となるx」のことだと思います。（適当に書いたのであまり自身なし）
少なくとも「導関数が極値をとるxの値」ことではありません。ましてや、「導関数“の分子”が極値をとるxの値」は、「導関数が極限をとるxの値」とも異なります。

f'(x)=0を解くだけでは不十分ですが、増減表を書くという行為は、「f'(x)<0, f'(x)=0, f'(x)>0」の３つの式を解いている（＆「転換法」により、各xに対するf'(x)の正負を網羅的に表現している）ことに相当するのです。これにより、f'(x)=0となる点が、「極値なのか、そうでない（例：y=x^3におけるx=0）のか」をはじめて見分けられるのです。（ご存知ですよね？）

f'(x)=0を解くのが本質ではなく、増減表（によりf'(x)の正負を網羅的に書き出すこと）こそが本質なのです。f'(x)=0を解くのは、「増減表を書くための“仕切り”を明確にする手段にすぎない」ことをご理解下さい。

かくいう私も、高校時代に増減表を書かなかったことで減点されたことがあり、当時は納得がいきませんでした。（笑）

お礼

ご説明ありがとうございます！