数学の問題です

質問

※※　*は階乗を示しています　※※

実数aにたいして関数f(y)=ax*3-3/2(a*2+1)x*2+3axとおく。
ただしa＝0でないとするとき、f(x)が極値をもたないような値を求めよ。

この問題のとき方を教えてください。

答えはa=±1です。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

（階乗は！記号で書き、４！＝４×３×２×１　なので、違いますね。）
（ｆ（ｙ）は、ｆ（ｘ）の書き間違いですね。）

ｆ（ｘ）　＝　ａｘ^3　－　３／２・（ａ^2＋１）ｘ^2　＋　３ａｘ
ただし　ａはゼロでない実数
でよろしいですね？

部分を使うと簡単です。
「極値を持たない」　＝　「傾きが一度も負にならない、または、一度も正にならない」
です。

ｆ’（ｘ）　＝　３ａｘ^2　－　３（ａ^2＋１）ｘ　＋　３ａ

ｆ’（ｘ）／３　＝　ａｘ^2　－　（ａ^2＋１）ｘ　＋　ａ
これが、一度も負にならない、または、一度も正にならなければよいです。
それは、二次関数
ｙ　＝　ａｘ^2　－　（ａ^2＋１）ｘ　＋　ａ
が一度もＸ軸と交わらないこと（接するのはＯＫ）。
それは、つまり、二次方程式
ａｘ^2　－　（ａ^2＋１）ｘ　＋　ａ　＝　０
が実数解を持たないか、または、ただ一つの解（重解）を持つということです。
判別式Ｄが　Ｄ≦０　ということです。
（Ｄ＜０　⇒　実数解なし、　　Ｄ＝０　⇒　重解を持つ）

ちょっと自信がないので、計算してみます。
（ａ^2＋１）^2　－　４ａ^2　≦　０
（ａ^2＋１　＋　２ａ）（ａ^2＋１　－　２ａ）　≦　０
（ａ＋１）^2・（ａ－１）^2　≦　０

ａは実数です。
２乗したものはゼロにはなることはあっても負にはならないので、
「２乗その１」×「２乗その２」　≦　０　ということは
「２乗その１」＝０　または　「２乗その２」＝０　になってもらうしかないです。
つまり、
（ａ＋１）^2　＝　０　または　（ａ－１）^2　＝　０
合いました！

お礼

訂正申し訳ないです！
なるほど・・・・！
考え方がすごいですね！
これからも地道にやって補っていきたいと思います！
ありがとうございました！

回答No.1

Mr_Holland

＞※※　*は階乗を示しています　※※

　「階乗」ではなく「累乗」の誤記と考えて回答させて頂きますね。

　関数f(x)の3次の係数が0ではないことが保証されていますので、f(x)が極値を持たないことは　f'(x)が2つの異なる実数解をもたないことと同値になります。
　ですのでf'(x)を求めて、2次方程式の判別式からaの条件を求めることができますよ。

補足

どうもすいませんでした＾＾；
そういう知識も身につけてから投稿しないといけなかったこと
反省しています＾＾；
わざわざありがとうございます！