極値を求める

質問

お世話になります。大学受験問題です。

問題は、f(x)=(a+cox)/sinx(0<x<π)が極値をもつように、定数aの値の範囲を定め、そのときの極値を求めよ。

です。

解答は、f'(x)=-(acosx+1)/s(sinx)^2
極値をもつためには、acosx+1=0が0<x<πで解をもてがよい、よって、-1<cosx<1より・・・Ａ
a<-1, 1<aです。・・・Ｂ

Ａまではわかります。が、Ａから次の行Ｂへはどうやったのでしょうか。
0<x<πからacosx+1の形をつくろうかとも試みましたが、だめでした。

また他にaの範囲を求める解法はありますか？
どなたか以上二点についてアドバイスをいただけませんか。よろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

Ｎｏ２です。
　わかりにくい回答で申し訳なかったです。

　Ｎｏ１さんの言わんとしているところですが、
　　－１＜cosｘ＜１　だから、－１をかけて
　　－１＜－cosｘ＜１　
　　ここで、－cosｘは－2/3とか1/2とかの、絶対値が１より小さい数です。
　　で、－１＜－cosｘ＜１において－cosｘの逆数をとれば、当然、その
　　値は絶対値が１より大きくなります。
　　（1/2→2/1、－2/3→－3/2となるなど）
　　したがって、－1/cosｘ＜－１、１＜－1/cosｘ　となるわけです。
　　（逆数をとるとき、cosｘ≠０を補った方がいいです。）
　　この見方でいくなら、cosｘが正とか負とかの場合分けはしなくても
　　すんなりいきます。
わかりにくかったでしょうか？

お礼

度々の御回答ありがとうございました。
No.2の御回答決してわかりにくかったというわけではありません。ただ私の勉強不足です。

今回の御回答、No1に補足をいただきありがとうございました。この補足で、なんとかno.1さんの御回答がわかりました。ありがとうございました。
お礼が遅くなり申しわけありませんでした。

回答No.2

debut

ａcosｘ＋１＝０　よりａ≠０だから、cosｘ＝－１/ａ
－１＜cosｘ＜１に代入して　－１＜－１/ａ＜１
－１をかけて　１＞１/ａ＞－１・・＊

（１）ａ＜０のとき＊にａをかけて（不等号の向きが変化）ａ＜１＜－ａ　より
　　　　ａ＜１，－１＞ａ　だから　３つを満たすのは　ａ＜－１
（２）ａ＞０のとき＊にａをかけて（不等号の向きはそのまま）ａ＞１＞－ａより
　　　　ａ＞１，－１＜ａ　だから　３つを満たすのは　１＜ａ

以上より、ａ＜－１，１＜ａ

お礼

御回答ありがとうございました。
ａ≠０には気づいていませんでした。
御回答を初め読ませて頂いた際には、どうして？と思ってしまいました。

以下、何度も読ませていただき、自分でやってみて、やっと理解でき、自力で解くことができるようになりました。御回答ありがとうございました。

回答No.1

teuu

acos(x)+1=0が0<x<πで解をもつ
⇔
acos(x)=-1を満たすxが0<x<πの範囲にある
⇔
a=-1/cos(x)

ここで-1/cos(x) は、0<x<π の範囲で、
-1<cos(x)<1 より、
-1/cos(x) < -1, 1 < -1/cos(x)
だから、a<-1, 1<a・・・Ｂ

実際cos(x)に1/2とか入れてみればわかるでしょう。

ちなみにacos(x)+1というのは、
cos(x)は振幅１のカーブですが、
振幅aのカーブとなり、
さらに通常0を基準とする振動ですが、
１が平均値となる振動となります。
つまりy=cos(x)のグラフを１だけ上にずらして、
振幅をa倍したもの、になります。
したがって、aが１より小さいとx軸と交わらないことがわかりますよね。
したがってy=0にならない　⇔　解を持たない
となります。

お礼

御回答ありがとうございました。ですが、
＞-1<cos(x)<1 より、
＞-1/cos(x) < -1, 1 < -1/cos(x)
のところがよくわかりませんでした。

これはCOSXで割っているのでしょうか？
もしそうであれば、COSXが正のときと、負のときで、場合分けをしないといけないのではないでしょうか？

お時間があれば、補足をいただけないでしょうか。よろしくお願い致します。