極値をもつようなaの範囲

質問

0<x<πで定義された関数 y=(a+cosx)/sinxが極値をもつようなaの範囲を定めよ。
という問題がわかりません。
y'= - (acosx+1)/sin^2x
a=0の時、y'<0となり極値は存在しない。aは0以外。
y'=0 とすると、cosx=-1/a・・・(1)
0<x<π のとき|cosx|<1であるから、(1)の解が存在する条件は、
|-1/a|<1 ゆえに |a|>1したがって、a<-1 ,a>1
このとき(1)を満たす解を、α(0<α<π)としてyの増減表を作ると、
ここからがわかりません。
a>1のとき、 0<x<αの範囲でy'はマイナス、α<x<πの範囲ではy'はプラス
a<-1のとき、0<x<αの範囲でy'はプラス、α<x<πの範囲ではy'はマイナス
となっています。
(1)にa=2,やa=-2を代入して、cosx=1/3をy'に代入してもわかりません。
解説をお願いします。

回答No.1

atkh404185 · ベストアンサー

0<x<π の範囲で、
y'=-(acosx+1)/sin^2x　において、
分母の　sin^2x　は常に正だから、
分子の　acosx+1　の符号がわかればよい。

書き方がおかしいかもしれませんが・・・、

a>1 のとき
～～～～～

x の値が 0 から　α　まで変化するとき、
acosx+1 の値は　a+1(>2)　から　0 に変化するから、
acosx+1 は「＋」
よって、
0<x<αの範囲でy'は「－」

《　(1)を満たす解を、α(0<α<π)とすると
cosα=-(1/a)<0
これから、
π/2<α<π
なので、
x=π/3, π/2 などを
acosx+1 に代入すると、
a/2+1, 1
となり、「＋」です。　》

x の値が α から　π　まで変化するとき、
acosx+1 の値は　0　から　-a+1(<0) に変化するから、
acosx+1 は「－」
よって、
0<x<αの範囲でy'は「＋」

a<-1 のとき
～～～～～～

x の値が 0 から　α　まで変化するとき、
acosx+1 の値は　a+1(<0)　から　0 に変化するから、
acosx+1 は「－」
よって、
0<x<αの範囲でy'は「＋」

x の値が α から　π　まで変化するとき、
acosx+1 の値は　0　から　-a+1(>0) に変化するから、
acosx+1 は「＋」
よって、
0<x<αの範囲でy'は「－」

《　(1)を満たす解を、α(0<α<π)とすると
cosα=-(1/a)>0
これから、
0<α<π/2
なので、
x=π/2, 2π/3 などを
acosx+1 に代入すると、
1, -(a/2)+1
となり、「＋」です。　》

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

info222_

0<x<πでsinx>0, -1<cosx<1なので
cosx=tとおくと sinx=√(1-t^2)
-1<t<1, y=(a+t)/(1-t^2)^(1/2)=f(t)
f '(t)=1/(1-t^2)^(1/2)+(-1/2)(-2t)(a+t)/(1-t^2)^(3/2)
={(1-t^2)}+t(a+t)/(1-t^2)^(3/2)
={at+1}/(1-t^2)^(3/2)
(1-t^2)^(3/2)>0
a=0とすると　f '(t)=1/(1-t^2)^(3/2)>0 なので単調増加ゆえ極値をもたない。
a≠0とする。
a>0のとき　t<-1/aで f '(t)<0, t>-1/aで f'(t)>0 なので
　-1<t<1より -1<-1/a<0 なので極小値を持つ条件は　a>1 、極小値は f(-1/a)。
a<0のとき　t<-1/a でf '(t)>0, t>-1/aで f'(t)<0 なので
　-1<t<1より 0<-1/a<1 なので極大値を持つ条件は　a<-1 、極大値は f(-1/a)。
以上から y=f(t)が極値を持つようなaの範囲は　(答) |a|>1　または (a<-1, a>1)

お礼

お返事ありがとうございます。