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三角不等式についての正しい記述
- 三角不等式についての正しい記述とは、ベクトルaとbの絶対値の差がベクトルa+bの絶対値よりも小さく、ベクトルaの絶対値とベクトルbの絶対値の和がベクトルa+bの絶対値以上であることを意味します。
- 具体的には、ベクトルa+bの絶対値がベクトルaの絶対値とベクトルbの絶対値の和以下であり、ベクトルaの絶対値とベクトルbの絶対値の差がベクトルa+bの絶対値以上である場合、三角不等式が成り立ちます。
- また、三角不等式はベクトルaとbのなす角度が0度のとき重なる形、180度のとき正反対を向く形で等号成立します。
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補足に対する回答 ー｜a+b｜｜b｜＝(a+b)・ｂを図示して、考えてみました。 確かに、|a|＞|b|かつa,bのなす角度が１８０度でなくてはならないというのがわかったのですが、 |a|＝|b|の場合（０になる）はだめなのでしょうか? ＞|a|=|b|の場合 右辺はaとbのなす角度をθとして (a+b)・b=a・b+b・b=|a|*|b|cosθ+|b|^2 =|a|*|a|cosθ+|a|^2=(1+cosθ)*|a|^2 =|b|*|b|cosθ+|b|^2=(1+cosθ)*|b|^2 左辺はa+bとbのなす角度をβとして -|a+b|*|b|=-{(a+b)・b}/cosβ =-{a・b+b・b}/cosβ =-{|a|*|b|cosθ+|b|^2}/cosβ =-(1+cosθ)*|a|^2/cosβ =-(1+cosθ)*|b|^2}/cosβ であり、|a|=|b|だけで常に０にはならない。
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- yyssaa
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(1)まず、｜a+b｜≦｜a｜+｜b｜について、 両辺について、≧０であるから、両辺を２乗して差をとって、 （｜a｜+｜b｜）＾２－｜a+b｜＾２＝２（｜a｜｜b｜-a・ｂ）≧０ 等号成立は｜a｜｜b｜-a・ｂの時、すなわち｜a｜｜b｜＝a・ｂ。a,bのなす角度が０度のとき（重なる形） ＞正しいです。 (2)次に、｜a｜-｜b｜≦｜a+b｜について、右辺は≧０である。左辺について、｜a｜-｜b｜≧０すなわち｜a｜≧｜b｜のとき、 両辺の差をとると、｜a+b｜＾２－（｜a｜-｜b｜）＾２＝２（a・ｂ＋｜a｜｜b｜）≧０ 等号成立はa・ｂ＝ー｜a｜｜b｜のとき。すなわち a,bのなす角度が１８０度のとき（正反対を向く時） ＞正しいです。 また、(2)‘別の証明方法 (1)のaにa+b,bにーｂを代入して、｜（a+b）－ｂ｜≦｜a＋ｂ｜+｜ーb｜⇔｜a｜-｜b｜≦｜a+b｜。 このとき、等号成立は｜a+b｜｜-b｜=(a+b)(-b)となったのですが、ここからどうすればよいのかがわかりません。教えてください。 ＞(1)と同様に ｜a+b｜｜-b｜-(a+b)・(-ｂ)≧０ ｜a+b｜｜b｜+(a+b)・ｂ≧０ 等号成立は(a+b)とｂのなす角度が１８０度のとき すなわち|a|＞|b|かつa,bのなす角度が１８０度のとき。 （|a|＜|b|ではa,bのなす角度が１８０度にはならない）
補足
｜a+b｜｜-b｜-(a+b)・(-ｂ)≧０ ｜a+b｜｜b｜+(a+b)・ｂ≧０ 等号成立は(a+b)とｂのなす角度が１８０度のとき すなわち|a|＞|b|かつa,bのなす角度が１８０度のとき。 （|a|＜|b|ではa,bのなす角度が１８０度にはならない） ★追加の疑問があるので、お答えいただけませんか? 実際に、 ー｜a+b｜｜b｜＝(a+b)・ｂを図示して、考えてみました。確かに、|a|＞|b|かつa,bのなす角度が１８０度でなくてはならないというのがわかったのですが、|a|＝|b|の場合（０になる）はだめなのでしょうか?
お礼
自分でもう少し考えてみます。もう少し待っていていただいてもよろしいでしょうか?