変数分離

質問

(dv/dt) = -(2t+tv^2)/(2v+t^2v)

変数ｔと変数ｖが混ざっているのでわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

(dv/dt) = -(2t+tv^2)/(2v+t^2v)

変数分離して

vdv/(v^2+2)=-tdt/(t^2+2)

これを見て

u=v^2, s=t^2

という変換を思いつかないようでは未熟者。

du=2vdv, ds=2tdtより

du/(u+2)+ds/(s+2)=0

log[(u+2)(s+2)]=c

(u+2)(s+2)=C

u=C/(s+2)-2

v=±√[C/(t^2+2)-2]

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

info222_

式を整理してみれば、変数分離できます。

(dv/dt) = -(2t+tv^2)/(2v+t^2v)
(2v+t^2v)dv= -(2t+tv^2)dt
(t^2+2)vdv=-(v^2+2)tdt
v/(v^2+2) dv=-2t/(t^2+2) dt
∫v/(v^2+2) dv=-∫2t/(t^2+2) dt
(1/2)log(v^2+2)=-log(t^2+2)+c1 (c1は積分定数)
log(v^2+2)=2c1-log(t^2+2)^2
log((v^2+2)(t^2+2)^2)=2c1
(v^2+2)(t^2+2)^2=e^(2c1)=c2
陰関数形式の解なら↑でも良い。

陽関数形式の解なら
v^2+2=c2/(t^2+2)
v^2=c2/(t^2+2) -2
v=±√((c2/(t^2+2))-2) (c2(>0)は任意定数

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

178-tall

>(dv/dt) = -(2t+tv^2)/(2v+t^2v)
>変数ｔと変数ｖが混ざっているのでわかりません。

まず「右辺を変数分離」…

　(2t+tv^2)/(2v+t^2v) = t(2+v^2)/{v(2+t^2) }
　= {t/(2+t^2) } / {v/(2+v^2) }

…から本番の「変数分離」へ移行できませんか？