複素関数論

質問

以下の証明ができません。　解答方針だけでもいいので、どなたか教えてください。

　u1=u(x1(t),y1(t))
v1=v(x1(t),y1(t))

u2=u(x2(t),y2(t))
v2=v(x2(t),y2(t))

とし、

　cosθ={(dx1/dt*dx2/d2)+(dy1/dt*dy2/dt)}/√[{(dx1/dt)^2+(dy1/dt)^2}+{(dx2/dt)^2+(dy2/dt)^2}]

cosθ'={(du1/dt*du2/d2)+(dv1/dt*dv2/dt)}/√[{(du1/dt)^2+(dv1/dt)^2}+{(du2/dt)^2+(dv2/dt)^2}]

とすると、u(x,y)とv(x,y)がコーシーリーマンの関係式を満たす時

　　|cosθ|＝|cosθ'|

となることを示せ。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

コーシーリーマン方程式
∂u/∂x=∂v/∂y
を変形して
(du/dt)/(dx/dt)=(dv/dt)/(dy/dt)
とします。

これで
dx1/dt＝…　dx2/dt＝…
dy1/dt＝…　dy2/dt＝…
は全て出ます。

補足ですが、
>　cosθ={(dx1/dt*dx2/d2)+(dy1/dt*dy2/dt)}/√[{(dx1/dt)^2+(dy1/dt)^2}+{(dx2/dt)^2+(dy2/dt)^2}]
は
cosθ={(dx1/dt*dx2/dt)+(dy1/dt*dy2/dt)}/[√{(dx1/dt)^2+(dy1/dt)^2}√{(dx2/dt)^2+(dy2/dt)^2}]
の間違いでしょうか？質問文の式だと答えまで行き着きません。

>次に、cosθ=…　の中に代入、整理で解けます。まずはdy1/dt*dy2/dtに代入し、cosθ'の分子の形にします。余りものを分母の中に入れて、コーシーリーマン方程式から出てくる式を利用します。

分母は展開してコーシーリーマン方程式を用いながら整理し、最後に因数分解すればOKです。

>　|cosθ|＝|cosθ'|

これは、x,y →　u,v　の写像を行なったときに、写像後の２直線のはさむ角が鋭角にも鈍角にもなるからだと考えられます。(直線にもう一つの直線を引いた場合にできる鋭角と鈍角のそれぞれでcosθを求めると、絶対値が同じで符号だけ異なる値となるといった具合で。)

補足

cosθ={(dx1/dt*dx2/dt)+(dy1/dt*dy2/dt)}/[√{(dx1/dt)^2+(dy1/dt)^2}√{(dx2/dt)^2+(dy2/dt)^2}]

でした。　ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

まず、コーシーリーマン方程式から、u,v,x,yすべてを媒介変数表示のtでの微分の形に書き換えます。
du1/dt＝…　du2/dt＝…
dv1/dt＝…　dv2/dt＝…
dx1/dt＝…　dx2/dt＝…
dy1/dt＝…　dy2/dt＝…
全部計算しておくと良いでしょう。

次に、cosθ=…　の中に代入、整理で解けます。まずはdy1/dt*dy2/dtに代入し、cosθ'の分子の形にします。余りものを分母の中に入れて、コーシーリーマン方程式から出てくる式を利用します。

最後に絶対値が付くのは、はじめにdx1/dt*dx2/d2に代入した場合を考慮してでしょうか？
適当に思いついて書いているので、確認してください。

補足

dx1/dt＝…　dx2/dt＝…
dy1/dt＝…　dy2/dt＝…
の部分はどのようにして出したらいいでしょう・・・