数学の問題で

質問

関数y=log|x|の第n次導関数を求めよという問題が分からないので解説お願いします!!!

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

真数条件より
　|x|>0 →　x≠0
定義域はｘ=0を除く全ての実数。

y=(1/2)log(x^2)
y'=(1/2)*2x/x^2=1/x=(-1)^0*0!/x^1
y''=y^(2)=(x^(-1))'=-x^(-2)=(-1)^1*1!/x^2
y'''=y^(3)=(-1)(-2)x^(-3)=(-1)^2*2!/x^3
y''''=y^(4)=(-1)(-2)(-3)x^(-4)=(-1)^3*3!/x^4
…
y^(n)=(-1)^(n-1)*(n-1)!/x^n ←(第n次導関数, n=1以上の正整数)　…(答)

お礼

回答ありがとうございました
助かりました！

回答No.2

yyssaa

＞yの第n次導関数をy(n)と書くと
∫(1/x)dx=log|x|+C(定数)だから、両辺をxで微分して、
1/x=(log|x|)'=y'=y(1)=x^(-1)
y(2)=y"=(-1)x^(-2)
y(3)=(-1)*(-2)x^(-3)=(-1)^2*2!*x^(-3)
y(4)=(-1)*(-2)*(-3)x^(-4)=(-1)^3*3!*x^(-4)
・・・・・・・・
y(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!x^(-n)・・・答

お礼

回答ありがとうございました(^^)
丁寧でわかりやすかったです

回答No.1

QoooL

y=log|x|

第1次導関数
y'= 1/x = x^(-1)

これは「公式をちゃんと覚えましょう」と言われるレベルだと思います。

第2次導関数
y"= (-1)x^(-2)

この後、微分するたびに　正、負、正、負、…
となることがわかりますね。

係数の絶対値は、
1
1x2
1x2x3
1x2x3x4
…

と数字が大きくなって行くわけです。

あとは自分でどうぞ。

お礼

回答ありがとうございました(^^)
助かりました