経済学部の数学でわからないところがあるので、教えてください

質問

私は、経済学部を専攻する大学１回生です。
もうすぐ、経済で用いる基礎的な数学のテストがあり、そのために配布された模擬テストのプリントがあります。そのプリントでは、答えは載っているのですが、解説がないため、どうしてこうなるのか分からない問題がいくつかあります。そのことについて解説していただければと思い、質問させていただきました。

あと、問題はプリントに書いてあるとおり写したので、失礼だとは思いますが命令形になっています。ごめんなさい。

1)log<2>10-log<2>5/3をより簡単な数字で示しなさい。(<>内が底の部分です。)
答え)log<2> 6
・・・となっているのですが、なぜそうなるのか分かりません。私の解き方は右項のlog<2>5/3をlog<2>5-log<2>3と直し、その計算をし、左項から右項を引くというやり方なんですが、それではlog<2>8となってしまいます。

2)関数y=1/4(<3>√x)<4>を微分した導関数y'をy'=ax<b>と表すとき,aとbに入る値として適切なものを選びなさい。(<>内は指数を表しています。)
答え)a=1/3, b=1/3
・・・となっています。y=1/4(<3>√x)<4>を微分すると、(3√x)<3>(1/3<3>√x<2>)になると思うのですが、これも自信がないです。あと、y'=ax<b>と表すというのがどういうことか分かりませんので、教えてください。

3)y=2x<2>+x+3を微分し、導関数をy'=ax<2>+bx+cという形で表した場合、bに入る数字として適切なものを選びなさい。(<>内は指数です)
答え)b=4
・・・となっています。もちろん、ただ微分をするだけだったら分かるんですが、y'=ax<2>+bx+cで表せというのがよく分かりません。

4)yは√xに反比例するとする。x=4のときy=12であるならば、x=9のときyの値はいくらか。
答え)6
・・・簡単な問題だと思って解いていったのですが、答えが6になりません。計算の過程は、反比例の公式y=a/xのaを求めるために x=4,y=12を代入して12=a/√4として、両辺に√4をかけてa=24としました。
そして、y=24/xにx=9を代入して、y=24/9となったのですが、どこが間違っているのでしょうか？

出来れば、全部教えてほしいですが、めんどくさかったら1問だけでもいいので解説をお願いします。

回答No.2

proto

>恐らく微分したものをax<2>+bx+cにあてはめるということだと思うのですが、それだとa=4,b=1,c=0になると思うのですが・・・。

y'=ax<2>+bx+cで表せということなので、aはx<2>の係数、bはxの係数、cは定数項。

さて、
　　y = 2x<2>+x+3
より
　　y' = 4x+1

x<2>の係数は0だから、a=0。
xの係数は4だから、b=4。
定数項は1だから、c=1。

a=4,b=1,c=0だと、y'=4x<2>+xになってしまうでしょう？

お礼

回答ありがとうございます！

そういうことだったんですね。やっと、疑問が解決して、納得することができました。

回答No.1

rnakamra

1)
log<a>b-lob<a>c=log<a>(b/c)
です。これを元の式に直接入れると
log<2>10-log<2>(5/3)=log<2>(10/(5/3))=log<2>(10/5*3)=log<2>6
です。
あなたの解き方でやると、
log<2>10-log<2>(5/3)=log<2>(5*2)-(log<2>5-log<2>3)
=log<2>5+log<2>2-log<2>5+log<2>3
=log<2>2+log<2>3
log<2>(2*3)
=log<2>6

2)y=(1/4)(<3>√x)<4>=(1/4)x<4/3>
です。
これを微分するのは簡単ですね。

3)
>y'=ax<2>+bx+cで表せというのがよく分かりません。
いきなりこのように書かれると混乱するかも知れません。y'はxの1次式ですから。単なる引っ掛けのようなものです。
単にa=0,b=4,c=1でOK。

4)反比例といってもxとyではなく、√xとyの関係です。
ですからy=a/√xの関係となります。
a=24は正しいのですが(なぜ正しくなるのかが判らないが)、x=9を代入する式が間違っています。
y=24/√9=8
が正解です。(答えも間違っている)

お礼

こんなに早く、しかも丁寧に解説してくださってありがとうございます！
授業も終わってしまい、先生にも聞けず、どうしようかと思って悩んでいたので本当に感謝です！
おかげで、どうなっているのかを理解できて、他の問題にも応用できそうです。

ただ、(3)についてだけよくわかりません。恐らく微分したものをax<2>+bx+cにあてはめるということだと思うのですが、それだとa=4,b=1,c=0になると思うのですが・・・。

良ければ、もう一度解説していただければうれしいです。