数学IIIの定積分あたりの問題です

質問

n ＝≧2の時、次の不等式が成り立つことを示せ。
1）1+√2/1+√3/1+…+√n/1＜2√2-1
2）nlogn-n+1＜log1+log2+log 3+…log n

回答
1）y＝√x/1は減少関数でk＜x＜k+1のとき

√k+1/1＜√x/1より…

とあるのですが、よりは一体どこから導きだされたのでしょうか。

参考書の回答がいまいち理解できません。どなたか詳しく教えて頂けないでしょうか。お願い致します!!

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

♯１です。
例えば
2√(n+1) -2<1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・・(1/√n)
のように1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・・(1/√n)が大きくなる評価をするときは(1/√x)<(1/√n)
を使います。
示すべき式をみて判断できませんか。

お礼

示すべき式で理解できました!!助かりましたありがとうございました。
また困ったときはご教授お願い致します!!

回答No.1

151A48

1)は問題がおかしくありませんか？√ｘ/1は√ｘが分子，１が分母，の意味になりますが・・・。
1+(1/√2)+(1/√3)+・・・・(1/√n)<(2√n)-1
ではないのですか。もしそうなら以下の方針。
x<k+1なら√x <√（ｋ＋１）
逆数にすれば大小が逆転し1/(√(k+1))<1/(√x)
両辺x：k→k+1で積分し，k：1→n-1の総和をとる。
最後に両辺に１をたす。

２）　nlogn -n+1 はlogxのt：１→ｎの定積分。
y=logx とｘ軸，ｘ＝ｎの囲む面積と，それを上から囲む幅１の短冊の面積の和，の比較。

お礼

ご回答ありがとうございました！！

まだ理解できない箇所がありまして…上記の疑問です。教えて頂けますでしょうか。

補足

問題の入力ミスでした。ご指摘ありがとうございます。

続けて教えていただきたいのですが
k＜x＜k+1の逆数は
1/(k+1)>1/x>1/kですが、問題集の回答は1/(k+1)>1/xを基に解説しています。
1/x>1/kを基にしては正解が得られないのでしょうか？
何で1/(k+1)>1/x>1/kを基に解説するのかそこがわかりません。
それとも、どちらでも同じ答えになるのでしょうか。
私の計算では異なる結果となりましたので、上記の疑問があります。