円の性質

質問

外接する２円と、その接点Pを通らない直線との交点を順にA,B,C,Dとするとき
角APD+角BPC=１８０度であることを証明せよ。　

の解答をお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

外接する２円の共通接線とADとの交点をQとする。

∠APB=α、∠BPQ=β、∠QPC=γ、∠CPD=δとする。

角APD+角BPC＝α＋β＋γ＋δ＋γ＋δ＝α＋β＋２γ＋２δ　　(1)

が１８０度であることを示せばよい。

接線と円周角の関係により

∠PAB＝∠BPQ=β　　　　(2)

∠PDC＝∠CPQ=γ　　　　(3)

また

∠PBC＝∠APB＋∠PAB＝α＋β　　(4)

∠PCB＝∠DPC＋∠PDC＝γ＋δ　　(5)

⊿PBCにおいて(2)、(3)より

∠CPB＝∠BPQ＋∠CPQ＝β＋γ　　(6)
であるので

内角の和を計算すると(4)、(5)、(6)より

180°＝∠PBC＋∠PCB＋∠CPB＝α＋β＋２γ＋２δ

(1)を用いて

角APD+角BPC＝α＋β＋２γ＋２δ＝180°

回答No.1

shuu_01

２円の接線と、直線 ABCD の交点を Q とおきます

接弦定理より、

∠BPQ ＝ ∠BAP　(1)
∠CPQ ＝ ∠CDP　(2)

△ADP の内角の和は 180°ですので、

∠APD ＋ ∠BAP ＋ ∠CDP ＝ 180°

(1)、(2) を代入して

∠APD＋ ∠BPQ ＋ ∠CPQ ＝ 180°

∠BPQ ＋ ∠CPQ ＝ ∠BPC ですので、

∠APD ＋ ∠BPC ＝ 180°