2円と直線に接する円

質問

xy平面上に以下の2つの円と1つの直線がありあます。
(x-a)^2+(y-b)^2=c^2・・・・・(1)
(x-d)^2+(y-e)^2=f^2・・・・・(2)
gx-y+h=0・・・・・(3)
円(1)と円(2)は交わらないものとします。
円(1)、円(2)に互いに外接し、さらに直線(3)とも接する円を
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2として、
p,q,rをそれぞれa,b,c,d,e,f,g,hを用いて表せますか？
添付はイメージです。

回答No.5

noname#222520

ANo.3とANo.4の回答者です。
「釈迦に説法」になるかもしれませんが、色々と考えているうちに気付いたことをお伝えします。

先ず、次の2つの円を考えます。
x^2+y^2=2^2－(1)
(x-8)^2+(y-3)^2=3^2－(2)
これらの円に共通する接線は、図を描けば明らかなように、4本あります。
これらの接線を次のようにおきます。
y=mx+n－(3)
mとnを求めるには、(3)を(1)と(2)に代入してxについての2次方程式を2つ作ります。
そして、それぞれの判別式を0とおき、例えば一方からnをmで表し、それをもう一方に代入してmについての式を作ります。
この方針で進めると、接線が4本あることから、当然mについての4次方程式になると思ったのですが、自分の考え方が正しければ、実際には8次方程式になります。
8次方程式とは言うまでもなく、8次式=0の形になる訳ですが、
8次式=2次式*2次式*2次式*2次式
の形に表せる筈であり、このうち2つの2次式については、2次式=0（2次方程式）が実数解をもたず、残り2つの2次式については、2次式=0（2次方程式）が実数解をもつので、結局実数解は4個になり、4本の接線が確定することになります。
このように考えると、円(1)と円(2)が確定しているにも拘わらず、mを手計算で求めることができるかどうかは疑問です。
（改めて高校数学の参考書を見ましたが、類題の記載はなく、難問なのだと思います。）

次に、4本の接線のうち円(1)の右下と円(2)の左上に接するものを考えます。
この場合、図を描けば明らかなように、m＞0、n＜0であり、mは大体1.4くらいになります。
そして、円(1)との接点をA、円(2)との接点をB、接点Aと接点Bの中点をCとし、この接線を中点Cを中心に左回転させてmを1.4よりも大きく2や3や4になるようにすると、この接線は円(1)からも円(2)からも離れます。
この状態においては、円(1)と円(2)とこれらの間を通る直線（接線を回転させたもの）に接する第三の円は存在しません。

よって、第三の円が確実に存在するための条件設定が先決であり、ANo.3に対する補足にある「a～hに実数を代入してみるとS、T、Uともに0にとなりました」とは、上で触れたように、直線が2つの円の間を通るようなものになってしまった可能性があります。

なお、自分の能力ではここまでが限界ですので、回答はこれで最後にします。

回答No.4

noname#222520

ANo.3の回答者です。

補足について、自分でも再度考えてみますが、まず平行移動後の状態で、c、d'、e'、f、g、h'の各文字に適当な数値を定め、これらの値によってp'、q'、rを求めます。
つまりは、補足で触れられているのとは、逆の流れになります。
この結果、p'、q'、rが求められれば（0=0となる式が出てこなければ）、数値を文字に置き換えることは可能な筈です。

回答No.3

noname#222520

p、q、rをそれぞれa～hの8つの未知数で表そうとすると、おそらくは途方に暮れることになるでしょう。
そこで、未知数を減らす工夫をします。

円：(x-a)^2+(y-b)^2=c^2の中心(a，b)を原点O(0，0)に移動させることを考えます。
つまり、全体をx方向に-a、y方向に-b平行移動させます。
この結果から、d-a=d'、e-b=e'、p-a=p'、q-b=q'とおきます。（これらの関係を(1)とします。）

また、直線：gx-y+h=0からy=gx+h
これを、x方向に-a、y方向に-b平行移動させると、y=g(x+a)+h+b=gx+ag+b+h
ここで、ag+b+h=h'とおくと（この関係を(2)とします。）、y=gx+h'－(3)

なお、cとfとrは円の半径であるから、平行移動による変化はありません。
よって、平行移動後の3つの円の方程式は、次のようになります。
x^2+y^2=c^2－(4)
(x-d')^2+(y-e')^2=f^2－(5)
(x-p')^2+(y-q')^2=r^2－(6)

円(6)の中心(p'，q')は、2つの円、
x^2+y^2=(c+r)^2－(7)
(x-d')^2+(y-e')^2=(f+r)^2－(8)
の交点になるので、
(8)を展開し、(7)を代入して整理すると、
2d'x+2e'y-2(c-f)r-d'^2-e'^2-(c+f)(c-f)=0
ここで、x=p'、y=q’とすると、
2d'p’+2e'q’-2(c-f)r-d'^2-e'^2-(c+f)(c-f)=0－(9)

直線(3)と直線x=p'の交点は、(p'，gp'+h')
これから、円(6)の中心(p'，q')とこの交点の間の距離は、q'-gp'-h'
なお、これは添付された図のように、円(6)が直線(3)の上になる場合で、下になる場合は、
gp'+h'-q'になります。
直線(3)とx軸のなす角の大きさをθ（0≦θ≦π/2）とすると、cosθ=1/√(g^2+1)
また、r=(q’-gp'-h')cosθ=(q'-gp'-h')/√(g^2+1)－(10)

(9)(10)の関係から、p'とq'をrで表すことができます。

直線(3)と円(6)の接点は、(x1，gx1+h')とおけるので、円(6)の中心(p'，q')とこの点を通る直線の傾きは、(gx1+h'-q')/(x1-p')=-1/g（直線(3)に垂直）
これからx1が求められ（x1=kとします。）、gx1+h'=gk+h'も求められます。
また、(k-p’)^2+(gk+h'-q')^2=r^2であるから、このrについての2次方程式（上で触れたように、p'とq'をrで表すことができます。）からrが求められ、(9)(10)の関係からp'とq'も求められます。

あとは、出てくるd'、e'、h'、p'、q'を、(1)(2)の関係から、d、e、h、p、qに戻せば終わりです。

補足

ご回答頂きありがとうございます。
(ずっとここの計算を考えていたので遅くなりました・・・)

(a,b)だけ全体を平行移動させて簡易化するという方針は良いヒントと思いました。
ただ、私の計算力の問題かもしれませんが
最終的にrのみに関する方程式にたどり着いたものの
全ての項が0になる結果となってしまい解けませんでした。
まだ解けないので引き続き回答募集しますが・・・

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以下計算内容抜粋

その1
>(9)(10)の関係から、p'とq'をrで表すことができます。
実際に計算してみると・・・次のように定数項を仮置きして・・・
I=d'^2+e'^2+c^2-f^2
J=(c-f-e'((g^2+1)^0.5))/(d'+e'g)
K=(I-2e'h')/(d'+e'g)
L=(g(c-f)+d'((g^2+1)^0.5))/(d'+e'g)
M=(gI+2d'h')/2(d'+e'g)

p'=Jr+K
q'=Lr+M
という1次式の関係になりました。
(p',q',rが線形関係？ということですが正しいでしょうか？)

その2
>、(gx1+h'-q')/(x1-p')=-1/g（直線(3)に垂直）
>これからx1が求められ（x1=kとします。）
ここも実際にやってみると、
x1=(p'+gq'-gh')/(1+g^2)

その3
>また、(k-p’)^2+(gk+h'-q')^2=r^2であるから、
>このrについての2次方程式（上で触れたように、p'とq'をrで表すことができます。）
>からrが求められ

k(x1)を代入しp',q',rの2次式を整理してから
p'=Jr+K及びq'=Lr+Mを代入してみると
Sr^2+Tr+U=0
S=・・・、T=・・・、U=・・・(JKLMなど定数項で構成された多項式,入力大変なので略！)
となったのは良いのですが
a～hに実数を代入してみるとS、T、Uともに0にとなりました・・・orz

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今回の大まかなストーリー(？)
求める外接円を回答No.3に倣い円(6)[(x-p')^2+(y-q')^2=r^2－(6)]とおく
・いわゆる「点と直線の距離公式」などで直線(3)と円(6)の関係を拘束---i
(または円と直線の接点が判別式＝0により1つに拘束)
・ピタゴラスの定理などから円(1)と円(6)の関係を拘束---ii
　同様に円(2)と円(4)の関係を拘束---iii
これだけでは回答No.1と同じ状況なので計算が困難？
(強引に4次方程式まで作って解ければ完了するかも・・？ですが)
・円(4)中心点、及び円(4)と直線(3)の接点を通る法線が
　直線(3)と直行することを条件に加える---iv

最後の条件ivがもしかすると条件iと被っているのかもしれません(自信無し)
何かがおかしいのか、別の条件が必要なのか？

(a,b)平行移動し、さらに(d,e)を原点中心に１次変換(回転)しx軸上にくるようにすると
もっと簡単になるでしょうか？
設問自体は単純な形ですが、最終的には非常に面倒な式になりそうですね。
(というか手で解けるのだろうか)

回答No.2

178-tall

> … 次の疑問は　式(4)、(5)、(6)の連立方程式をpqrについて解けますか？ということに …

えらく煩雑そうだが、シナリオだけでも。

円 (1) , (2) に外接する円の中心の軌跡 L は双曲線 (勘定可) 。
L 上の点に中心をもつ外接円の半径も勘定可。
各外接円の接線の方程式も勘定可。(ただし、接点位置は添付図に例示された部位に限らぬ)

… と考えていくと解けそうに思ってしまうが、果たして？

回答No.1

info222_

c>0, f>0, r>0の下で
c+r=√((a-p)^2+(b-q)^2) ⇒ (c+r)^2=(a-p)^2+(b-q)^2 ...(4)
f+r=√((d-p)^2+(e-q)^2) ⇒ (f+r)^2=(b-p)^2+(e-q^2) ...(5)
r=|g*p-q+h|/√(1+g^2) ⇒ (1+g^2)r^2=(gp-q+h)^2 ... (6)
(4),(5),(6)を連立させて p, q, r について解けば
いいでしょう。

補足

ご回答頂きありがとうございます。
とすると、次の疑問は
式(4)、(5)、(6)の連立方程式をpqrについて解けますか？ということになります。

(6)のr＝・・・を(4)および(5)に代入し
p(またはq)について整理した後、
2次方程式の解の公式を適用すると
p＝1/i[j^2±(j^2-ik)^(1/2)]などの式が(4)(5)の2つ分出てきます。
(例えばi,j,kはa～h及びqで構成された式)
この後の進め方が分かりません。
「ルート」内部がうまく捌けず・・・
攻め方が間違っているのでしょうか。