三角形と円の性質 数学Ａ

質問

ＡＢ＝１０、ＢＣ＝９、ＣＡ＝８である△ＡＢＣがある。∠Ａの２等分線が辺ＢＣと交わる点をＤ、直線ＡＤと△ＡＢＣの外接円とのＡ以外の交点をＥとする。ＢＥ・ＣＥの値をもとめよ。

上の問題がなかなか解けません。
トレミーの定理をつかうのかなともおもったのですがまちがっていたようです。
ＢＥ＝ＣＥでＢＥ、ＣＥのどちらかが求めることができればよいというところまでしかわかりませんでした
ヒントだけでもいいのでよろしくおねがいいたします

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1です。こっちじゃないかな？と、考えてみました。

BD=5,CD=4なので、方べきの定理から、AD*ED=4*5=20・・・☆
△ABDと△AECにおいて、弧ACの円周角で∠ABD=∠AECということと
∠BAD=∠EACから△ABD∽△AECとなって、AB:(AD+ED)=AD:ACがいえます。
AB=10,AC=8を入れて、AD(AD+ED)=80→AD^2+AD*ED=80
☆のことから、AD^2=60→AD=2√15で、△ABD∽△AECを使えばECの長さ
が求められます。

回答No.4

Tofu-Yo

まず△ACE∽△CDEからAD=3DEを示してください。
次に△CDE∽△ADBからAD・DE=20を示してください。
ADを消去してDEがわかればあとは簡単なはずです。

回答No.3

myahumyahu

結論だけでいうと１：１ではないかと思います。

∠Aの二等分線ということから∠BAE＝∠CAE…(1)
また点Eは△ABCの外接円と直線ADの点A以外の交点ということから
点A,B,E,Cはこの順に同一円上にあるということより
弧ECに対する円周角より∠EBC=∠CAE…(2)
弧BEに対する円周角より∠BAE=∠BCE…(3)
したがって(1)(2)(3)より∠EBC=∠BCE
よって△EBCは底角が等しいので二等辺三角形であるので
BE：CE＝１：１

ちがうでしょうか？？
図を描いて同じ角度に記号をいれていくと分かりやすいと思いますよ☆
万が一間違っていたらごめんなさいですが…

回答No.1

debut

余弦定理と相似ですぐに出るけど、この場合は邪道なのかな？
１つの考えとして、参考程度に。
AEが∠BACの二等分線なので、BD:CD=BA:CA=5:4
BC=9だから、BD=5,CD=4。
△ABDで余弦定理から、25=100+AD^2-2*AD*10*cos∠BAD・・・(1)
△ACDで余弦定理から、16=64+AD^2-2*AD*8*cos∠CAD・・・(2)
∠BAD=∠CADなので、(1)(2)からcosを消去すると、AD^2=60、AD=2√15
△ABD∽△CEDから、AD:CD=AB:CE
と求めることはできますが・・・