平面図形・円の接線

質問

平面図形・円の接線

半径４の円Oに外部の点Pから接線を引き、その接点をTとする。また、直線POと円Oの交点のうちPから遠いほうの点をA、角OPTの二等分線と線分ATとの交点をBとする。
角OPT＝３０°のとき、PT=？、PA=？である。また、角TAP＝？°であるから、AT=？である。よってBT=？である。さらに、円O上の点Cから直線ATに下ろした垂線をCHとする。CHの最大値は？であるから、⊿BCTの面積の最大値は？である。

この問題が分かりません。？のところを穴埋めするのですが…。
どなたかご教授願います…

回答No.1

noname#189285 · ベストアンサー

問題の内容で絵を描くと下の画像の通りです(黒線)。

＞PT=？

三角形OPTは30°、60°、90°の直角三角形なので、OT：PT＝１：√3なので、

PT＝4×√3

＞PA=？

上記と同様にOT：OP＝1:2なので、OP＝8なので

PA=OP＋OA＝12

＞角TAP＝？°

角TOA＝120°、三角形OTAは二等辺三角形なので、

角TAP＝(180-120)÷2＝30°

＞AT=？

三角形ATPは二等辺三角形なので(角TAPと角TPAはどちらも30°)

AT＝PT＝4×√3

＞BT=？

緑線のように、辺ABの長さを、Bを中心に90°回転させた点をXとする。三角形ABPと三角形XBPは辺BPを共有し、点Pでの角度が双方とも15°なので、合同である。従って角BXTと角BAPは同じ角度＝30°である。

従って辺BTと辺XBは1：√3である。辺XB＝ABなので、

BT：AB＝1：√3

BT＝AB÷√3　・・・式(1)

また辺BT＋AB＝辺AT＝4×√3なので、AB＝4×√3　-BT

これを式(1)に代入し

BT＝(-BT＋4×√3)÷√3

√3×BT＝-BT＋4×√3

√3×BT+BT＝4×√3

BT(1+√3)＝4×√3

よって

BT＝(4×√3)÷(1+√3)

＞CHの最大値は？

最大値は円の線上から原点Oを通る場合なので

OH：OT＝1:2　よってOH＝2

CH＝4+2＝6

＞⊿BCTの面積の最大値は？

1/2　×　BT　×　CH　＝　(12×√3)÷(1+√3)

以上です。