（難）アポロニウスの円の不思議な性質

質問

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javaff/apollonius.html

にかいてあることなのですが、

ΔABCにおいてB,Cからの距離の比がAB:ACに等しい点の軌跡，C,Aからの距離の比がBC:ABに等しい点の軌跡，A,Bからの距離の比がAC:BCに等しい点の軌跡は一般に円になりますが，この３円(ka,kb,kc)をΔABCのアポロニウスの円という。

・外接円と直交する
・中心は一直線上にある
・外接円の点Aにおける接線と直線BCとの交点は円kaの中心である
・３円は２点で交わる(等力点という)

これらの性質をどのように示せばよいかわかりません。

一般に、二等分線の性質
http://www.nikonet.or.jp/spring/toubun/toubun.pdf
があるので、それを用いれば示せそうに思うのですが。

すみませんが困っております。ご教示ください。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

とりあえず方針だけです
＃というか，正直きちんと解けてない(^^;;

ひとつだけいえるのは，
これは今の中学・高校の数学の「初等幾何」の範疇では
解けません．無限遠を考える必要がありますので．
たぶん射影幾何とか「反転」とかそういう領域まで踏み込んだ
初等幾何が必要ですよ．

例えば，正三角形で考えたらどうなるかというと，
円はでてきません．三本の中線がここでいう
「アポロニウスの円」になります．
中線なので「重心」で交わります．もう一個の交点は「無限遠点」です．
無限遠点を通る円は直線であるという視点が必要です．
二等辺三角形で考えるとまたちょっと違うものがでてきます．

方針：
(1) 例えば直角二等辺三角形とか正三角形だけで証明します．
(2) 示したい性質を保存する変換で，任意の三角形を(1)で使った三角形に変換できることを示します．

一次分数変換とかで変換して考えるのがよいかもしれません．

お礼

ありがとうございます。
とても難しいことだけは分かりました。

回答No.2

debut

これが、座標と三角形の辺の長さなどを使っての
計算であれば、簡単に（といっても面倒な計算では
あるけど）示せますが、やっぱり幾何的な性質を
使ってじゃないとだめなんでしょうねえ。

お礼

ありがとうございます。
とても難しいことだけは分かりました。