円の性質

質問

三角形ABCの内心をIとし、AIの延長が外接円と交わる点をDとすれば、DB=DC=DIであることを証明せよ。　

の解答をお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

Iは内心であるのでAIは∠BACを２等分する。BIは∠ABCを、CIは∠BCAを２等分する。

∠BAI=∠CAI=α、∠ABI＝∠IBC=β、∠ACI＝∠ICB=γとする。

よってBD、CD上の円周角が等しいことになりBD=CD　　(1)

∠BAI=∠CAI=αとすると円周角が等しいので

∠DBC=∠DAC＝α

∠DBI=∠DBC＋∠IBC=α＋β

∠DIB＝∠IAB+∠IBA=α＋β

よって⊿IBDにおいて∠DBI=∠DIB

故に

DB=DI　　　(2)

(1)、(2)より

DB=DI=DC