数列の極限３題（大学１年レベル）

質問

大学１年レベルの数列の極限の問題です。
(i)　　 a_1 = 1, a_n = 1 / (1 + a_n-1)
(ii)　　a_1 > 0, a_n = √(3 + a_n-1)
(iii)　 x_1 = (1/2)(c + a/c), x_n = (1/2)(x_n-1 + a/x_n-1)　　(a,c>0)

(i),(ii)についてはa_n,a_n-1を共にaと置いて出てくる２次方程式の解のうち、
初項>0から±の+の方を取ったのが極限値になることはなんとなく記憶にあるのですが
それをどう導出するか思い出せません。(iii)に関しては手も足も出ません。
よろしくお願いします。

回答No.2

shushou

すいません、ボケてました。taropooさんのおっしゃるとおりです。
下の私の回答のrを rn と書かせてください。
(ii)については　rn=1/(√(3+an)+α) とします。
面倒なので、絶対値の中身がすぐに正だと分かるものは絶対値をはずします。

(i)について
rn=α/(1+an)＜α　ですので
|a(n+1)-α|=r|an-α| < α|an-α|
よって　0≦|a(n+1)-α| < α^n|a1-α|
ｎを無限にとばすと右辺は０にいくのではさみうちの原理より
Ｏ．Ｋ．ですね。

(ii)について
an>√3 ですので　
rn< 1/(√(3+√3)+α) (=rとおく)
0<r<1 よりあとは(i)と同じようにすればよいと思います。

(iii)について
rn < 1/2 がすぐ分かるので(i)と同じようにはさむことができます。

お礼

ＯＫです。すっきりしました。
ありがとうございました。

回答No.1

shushou

３題とも同じ方法で解けます。
(i)について
taropooさんのおっしゃる二次方程式は
(1)　x^2+x－1＝0
ですね。この正の解をαとします。0<α<1に注意。
以下、a_n　をanと書きます。

|a(n+1)-α|=|1/(1+an)-α|=|(1-α-αan)/(1+an)|

=|(α^2-αan)/(1+an)| (∵ (1)より　1-α=α^2)

=|α/(1+an)|×|an-α|

ここで ｒ=|α/(1+an)| とおくと、結局

|a(n+1)-α|=r|an-α| となり、これを繰り返し用いて

|a(n+1)-α|=r^n|a1-α| となります。

両辺のnを無限にとばすと 0<r<1 より(∵ an>0,0<α<1)

lim|a(n+1)-α|=0 ∴ lim an=α　　

(ii)について
ポイントだけ書きます。
x^2-x-3=0 の正の解をαとすると
|a(n+1)-α|=|√(3+an)-α|=|(3+an-α^2)/(√(3+an)+α)|
ここで3-α^2=-α　を代入して、あとは(i)と同じです。

(iii)について
同じように２次方程式を作ればいいんですよ。
x^2=a となるので　α=√a　ですね。
ところで相加相乗平均よりxn≧√aなので

0≦x(n+1)-√a=...=(xn-√a)^2/(2xn)=r(xn-√a)

ここで r=(xn-√a)/(2xn) は　0<r<1　ですので
(∵ xn-√a>2xn とするとすぐに矛盾が生じるのでr<1です。)
求める極限値は√aとわかります。

補足

返事が遅くなってしまってゴメンナサイ。

ｒ=|α/(1+an)|

とおく事に抵抗があるのですが。
つまり、こう置くとrはｎによる事になり一定値ではなくなります。
と言う事は

|a(n+1)-α|=r^n|a1-α|

と言うのはおかしい気がするのですが。
いかがですか？