数列

質問

初項a1=1, 　
a(n+1)=(√2)^a(n)
　という数列の問題ですが、この数列の収束するかどうか、また極限がわかりません。どうやって考えていけばよいのでしょうか？対数をとったりして考えたのですが、うまくいきませんでした。どなたかご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

felicior

漸化式が有限の価に収束する必要条件は、a(n)とa(n+1)の差がだんだん
縮まっていくことなので、a(n+1)＝a(n)が解をもつ必要があるのはわかりますか？
y＝xとy＝(√2)^xのグラフを描いて考えてみると交点はx＝2,4なので
収束するなら2か4だなと見当が付けられます。

まずy＝xの直線上に座標(a(1),a(1))＝(1,1)の点A(1)をとります。
そこから上に向かってy＝(√2)^xのグラフと交わったところをB(1)とします。
するとB(1)の座標は(a(1),a(2))です。
さらにそこから右へ行きy＝xとぶつかる点をA(2)、
そこから上に行きy＝(√2)^xとぶつかる点をB(2)、
…とジクザグに進んでいくとだんだん点P(2,2)に吸い込まれていくのがわかります。
点A(n)の座標は(a(n),a(n))ですから、n→∞のときA(n)→Pであることは
a(n)→2ということを意味します。

うまく収束した理由は、全てのnで次の式が成り立っていたからです。
|2－a(n+1)|≦c|2－a(n)|、　0≦c＜1
つまりnが1増えるごとに2とa(n)の距離が一定の公比c(0≦c＜1)以下で縮んでいけば
|2－a(n)|≦c^(n-1)|2－a(1)|
となり、n→∞のとき|2－a(n)|→0、つまりa(n)→0が言えます。

実は上に書いた式は
|2－a(n+1)|/|2－a(n)|≦c
と書き替えると、
左辺は先程の点Pと点B(n)を結ぶ直線の傾き(の絶対値)を表しています。
B(n)の座標は(a(n),a(n+1))だからですね。
この傾きはx＜2の範囲では点Pにおけるy＝(√2)^xの接線の傾きlog2より
小さいことが図からも何となくわかります。

あとは区間(x,2)に平均値の定理を使って実際にc＝log2とできることや、
a(n)＜2ならa(n+1)＜2となることなどを示してください。

お礼

ご返答ありがとうございます。大変わかりやすい説明で、勉強になりました。極限値に関しては、プログラムを組んで計算してみたりしたので、２に近づくというあたりをつけていたのですが、そこに導くまでのプロセスがわからなかったので、助かりました。どうもありがとうございました。