数列の極限を求める問題です。

質問

数列の極限を求める問題です。
あまりに分からないのでどなたか助けていただけないでしょうか？
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問
f(x) = log(1+x) 　　 (x > 0)とする。

（1）t≧1/3のとき、1/(t+1) < f(1/t) < 1/(t+ (1/3)) が成り立つことを示せ

(2) cはc≧1/3を満たす定数とするとき、数列 {a[n]}[n=1～∞] を
a[1] = f(1/c) , a[n] = f(a[n-1]) 　　 (n≧2)

により定める極限値 lim[n→∞] {(log a[n])/log n} を求めよ
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（1）は解けたのですが（2）が分かりません。
ですので (1) が解けたとして (2) を求めていただけたらと思います。

よろしくお願い致します。

回答No.1

zero_samu · ベストアンサー

ちょっと条件使いきってないから自信ないですが・・・
(2)1/(c+1) < f(1/c)=a[1] < 1/(c+ (1/3)) <1/c
　ここでf(x)は単調増加関数なので
　a<bにおいてf(a)<f(b)
　これより
　f(1/(c+1))<f(a[1])=a[2]<f(1/c)=a[1]
　また1/(c+2)<f(1/(c+1))より
　1/(c+2)<a[2]<a[1]
　となるので1/(c+k)<a[k]<a[k-1]を帰納法で証明して
　（1/(c+k)/log k）<（a[k]/log k）<（a[1]/log k）
　k→∞ではさみうち使って0収束かな・・・

お礼

遅くなってすいません。

t≧1/3は（１）の関係を使えば，条件使ってることになるし
大丈夫だと思います。
1/(c+2)<a[2]<a[1]のところは
1/(c+2)<a[3]<a[2]<a[1]ということですよね。

非常に分かりやすい解答ありがとうございました。
助かりました。