数列の極限について

質問

以下のような問題で、悩んでおります。
どうか、ご教授お願いいたします。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
各自然数 n に対して、 ａ_n = (n ! / n^n)　とおく。
このとき、次の各問に答えよ。

（１）0 < ａ_n ≦ 1/n (n=1,2,3,・・・)を示せ
（２）数列｛ａ_n｝の極限値を求めよ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

（１）は、n=1,2,3と順に計算してみて、明らかなことがわかったのですが、どのように記述すべきかで悩んでおります。
（２）は、limａ_n の値は0と思うのですが、数列｛ａ_n｝となると、どのように計算をすればよいのか悩んでいます。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

tonsaku · ベストアンサー

（１）ｎは自然数なので“０＜”の部分はいいですね。

　さて、n!＝n・(n-1)・・・3・2・1
　　　　　≦n・n・‥n・n・1
　　　　　＝n^(n-1)
となります。１行目から２行目はｎより小さく１より大きい数をｎで置き換えたわけです。ちなみに等号成立はn=1の時です。

　ということは、n^(n-1)＞0 より、
　　　　n!/[n^(n-1)]≦ 1
　　 ⇔ 　n!/[n^n]　≦1/n
となり、証明終わりです。

（２）数列｛a_n｝の極限値とは、lim_{n→∞}(a_n)そのものです。
　　　(1)は(2)のヒントですから、あとは「はさみうち」で答えは０です。

久しぶりに高校数学をやりましたが、万が一、間違い等あれば、他の方、訂正願います。

お礼

大変ご丁寧に解説していただき、よくわかりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

gatch_ky

だいたいこんな感じ。
ｎ>=2のとき
(n ! / n^n)　= (1/n)*(2/n)*(3/n)*****(n/n)
<= (1/n)*(n/n)*(n/n)*****(n/n)=1/n

（２）は０でいいんだよ。1/n →０だから。

お礼

よくわかりました。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>明らかなことがわかったのですが、どのように記述すべきかで悩んでおります。
それを一般の n について述べれば良いだけです。

>数列｛ａ_n｝となると、どのように計算をすればよいのか悩んでいます。
lim_{n->∞} a_n を求めろということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。