数III「微分法・数列と極限」

質問

関数f(x)をf(x)=sin(ax)+cos(ax)と定める。ただし、aは0<a<1を満たす定数とする。
(1) xの方程式f(x)=xは唯一つの実数解αをもつことを示せ。
(2) 任意の実数xに対して、数列{x_n}を
　　x_1=x　　　　x_(n+1)=f(x_n) (n=1,2,3,…)
と定めるとき、極限値lim[n→∞](x_n)を求めよ。

という問題です。
(1)ではg(x)=sin(ax)+cos(ax)-xとおいて、y=g(x)がx軸とただ一つの交点を持つことを示そうとしました。
g(x)=√2sin(ax+π/4)-x
g'(x)=(√2)acos(ax+π/4)-1
g''(x)=-(√2)(a^2)sin(ax+π/4)

g''(x)=0とすると、x=(1/a)(n-1/4)π(n=0,±1,±2,…)
このxに対して、
g'(x)=(√2)acos(nπ)-1
=-(√2)a-1(nが奇数)
=(√2)a-1(nが偶数)
となり、増減表を書こうとしたのですが、x,g''(x),g'(x)の増減だけで肝心のg(x)が分かりません。方針が違うのでしょうか？

(2)では、-√2≦f(x)≦√2から、-√2≦x_i≦√2(i≧2)
平均値の定理を用いて(f(x_n)-f(α))/(x_n-α)=f'(c)
などとやってみましたが、f'(x)=(√2)acos(ax+π/4)で
-(√2)a≦f'(x)≦(√2)aであり、だいたいcはαとx_nに間にあることが分かっているだけで具体的にどのような値の範囲にあるかが分かりません。
分かれば、-1<f'(c)<1が成り立ちlim[n→∞](x_n)=αになると予想するのですが…

どなたか教えてください。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(1)の考え方だけ

f(x)=sin(ax)+cos(ax)
f(x)=x　となるxは、-√2≦x≦√2

g(x)=sin(ax)+cos(ax)-x=(√2)sin(ax+π/4)-x
g'(x)=(√2)a*cos(ax+π/4)-1

a＜√2/2　の場合は、
g(x)は狭義の単調減少関数だから、f(x)=xの解は１つのみ。

√2/2≦a＜1　の場合は、
g'(x)=0　となるのは、
θ=arccos(√2/(2a)）とすると、
0＜θ＜π/4
-√2≦x≦√2　の範囲内では、
ax+π/4=θ、ax+π/4=-θ　の２つのみ

あとは、
ax+π/4=±θのときに、g(x)＞0　であることを示すか、
または、
ax+π/4=-θのときに、極小で、g(x)＞0　であることを示せば、
g(x)=0　の解は１つだけとなります。

ヒント　sinθ＜θ

お礼

ご回答ありがとうございました。