この問題の解き方を教えていただけないでしょうか？

質問

こんにちは。
お世話になります。
表題にありますように、下記に挙げます問題がどうしても分らず、困り果てております。

問題：
「ｘ財とY財があり、ある合理的な消費者の効用関数が次のように与えられている。

u=xy+x+y

ここでuは効用水準、x、yはそれぞれX財とY財の消費量を表す。X財の価格をPxとして、Y財の価格が８、この消費者の貨幣所得が120であるとき、X財の需要曲線を求めよ。」

解説には、
「X財の需要曲線を求めるときは、通常の最適消費点の計算を行えばよい。そして最後に、X財の消費量Xと消費量XとX財の価格Pxの関係を表す式に整理していく。」
とあり、
次に
「MUｘ／MUｙ＝Py／Pｘ→ｘ+１／ｙ+１→8ｙ＋8＝Pxy＋Px」
と式がどんどん展開されています。
お恥ずかしい話なのですが、この段階から、どうしてこのようになるのかを理解することができません。

どなたか、お力を貸してはいただけないでしょうか？
どうぞ宜しくお願い申し上げます。

回答No.7

statecollege · ベストアンサー

その後質問はないが、微分の勉強は進んだのだろうか？回答６で宿題を出しておいたが、あなたの答えの報告はないが、解いてみたのだろうか？

回答No.6

statecollege

>自分なりに考えたのですが、０となるｘを見つけてるのは、傾きが最大となるところなのでしょうか？
この場合の最大の傾きとは、曲線の一番外側となりますか？

あなたの上の質問を読み返してみると、あなたはどうも曲線の「傾き」という概念がわかっていないのではないか、と考えざるをえないのですが、どうでしょうか？

y= 3x + 5

のグラフを描いてください。この一次関数のグラフは直線ですが、この直線の「傾き」はいくらでしょうか？ｙ切片はいくらでしょうか？

　y = -x^2 + 4x + 1

の点(0,1)における（この2次曲線の）傾きはいくらでしょうか？点(2,5)における傾きは？点(3,4)における傾きは？回答４の議論を理解したのなら、答えることができるはずです。

ｙ＝ｆ（ｘ）をｘについて微分して、微分係数dy/dxを求めるという操作は「傾き」の値を求める操作なのです。傾き（dy/dx)=0となるｘを見つけるのは、そこでｙが最大化されるからです。
あなたの質問「０となるｘを見つけるのは、傾きが最大となるところなのでしょうか？」とはどういう意味なのでしょうか？意味がさっぱりわかりません！

回答No.5

statecollege

＞今、ご解説を拝見し、自分なりに考えたのですが、０となるｘを見つけてるのは、傾きが最大となるところなのでしょうか？
この場合の最大の傾きとは、曲線の一番外側となりますか？
公式を見て、ぱっとグラフをイメージすることができるようになれればよいのですが

2次関数y = -x^2 + 4x + 1のグラフがどうなるか知りませんか？中学の数学あるいは高校の数学（数I)で勉強しているはずですよ！放物線です、逆U字型の曲線です。曲線上の点における傾きというのは、その点で、その曲線に接線（直線）を引いたとき、その接線の傾きで表わします。ｘが小さいときは、「傾き」は正（右上がり）で、かつ大きな値をとるが、ｘが大きくなるにつれて、傾きは正だが小さい値をとり、やがて傾きはゼロ（接線は水平）になり、ｘがその点を超えると、傾きは負（右下がり）となることがわかるでしょう。傾きが０となったとき、ｙの値は最大となっていることがわかりませんか？このグラフを正確に描き、ながめてください！

あなたの質問にもどって、
「０となるｘを見つけるのは傾きが最大となるところなのでしょうか？」
⇒
そうではありません！「微分したもの（=傾き）がゼロとなるｘを見つけるのはｙが最大となるところを見つけるためです。」
微分係数dy/dxとは、傾きの値を表わしているのです。微分係数がゼロのとき傾きはゼロとなり、そのところで、ｙの値は最大となるのです。傾きが最大となるところではｙの値は最大になりません。

回答２と３をよく読んでください。

「曲線の一番外側」というのはどう意味でしょう？あたえられた上の2次曲線では傾きが一番大きくなるのは、ｘ＝-∞のとき、このとき傾きはプラス無限大（グラフはほとんど垂直）になります。ｙの値はマイナス無限大です。
ｘが非負の(つまりゼロ以上の）値の領域に限定しても、ｘが０のとき、傾きは４で、一番大きく、ｘが大きくなるにつれて、傾きはどんどん小さくなり、０からやがてマイナスになる。傾きが一番大きいｘ＝０のときのｙの値は１で、ｘが2のとき、傾きは０で、yの値は最大の５の値をとるのです。傾きの大きさと関数の値を混同してはいけません。

グラフがイメージできないなら、具体的に数字をいれて表をつくり、その表の数字をグラフ用紙にプロットしてみればよいではないですか！

お礼

ご回答、いつも本当にどうもありがとうございます。
ご解説を拝見し、本当に目から鱗です。
やはり、経済学は実際に図やグラフを書かねばなりませんね。
その必要性を、今回のご指導を受けて痛感いたしました。
ただ、漠然とテキストを見て、その公式を覚えても、本当の意味での理解にはつながらないと思いました。
本当にどうも有難うございます。

回答No.4

statecollege

>微分自体がよくわからず、今、Amazonで微分の本を注文しているところです。

それはちょっと苦労しますね。ミクロ経済学で出てくる限界効用、限界代替率、限界費用といった概念の「限界」とは、数学の微分概念の経済学的表現なのです。たとえば、あなたの質問の中にある効用関数

U = xy + x + y

から、X財の限界効用MUｘを導くためにはこの効用関数をｘについて微分し

　MUｘ = ∂U/∂ｘ = y +1

を求めればよい。MUｙについても同様。

>大変初歩的な質問なのですが、どうして、UをXについて微分すると、０となるのでしょうか？

関数y = f(x)が与えられたとき、これをx-y平面にグラフを描いたとする。この関数の微分は、

　　dy/dx, df(x)/dx, f'(x)

と表わしますが、グラフ上ではこのグラフの、点（ｘ、ｙ）での「傾き」を表わしています。ですから、関数ｆ（ｘ）が簡単な1次関数
　　y = 2x + 5
なら、dy/dx = 2となり、つねに一定の傾きであることがわかる。一方、f(x)が2次関数、たとえば、y = -x^2 + 4x + 1ならば、dy/dx = -2x + 4となり、この2次曲線の「傾き」がｘの値が変わると変わることがわかる。ｙが最大値をとるところを見つけたかったら、傾きがゼロとなるｘを探せばよい。
したがって、y = -x^2 + 4x + 1のｙの最大値を求めるためには

　　　　0 = dy/dx = -2x + 4

を解いて、ｙはx = 2のところで最大となることがわかる(ｙの最大値は-2^2 + 4×2 + 1 = 5)。このように、微分を使うことによって最大値を見つけることができるのです。ミクロ経済学とは、簡単に言うと、最大（あるいは場合によって最小）を求める学問だといっていいくらいですが、ミクロの主体（消費者=家計、企業=生産者）は最大化行動をする―消費者なら効用最大化、企業なら、利潤最大化を目指して行動するーと仮定されているからです。したがって、微分概念の利用が不可欠なのです。

あなたの質問「なぜ、UをXについて微分すると、０となるのでしょうか？」ですが、Uをｘで微分すると０となるのではなく、Uをｘで微分したとき、微分係数dU/dxが０となるｘを探しているのです。上の例で言うと、上の２次関数を微分すると

　　dy/dx = -2x + 4

となるが、これが０となるｘを見つけているのです(なぜ？）。

補足

誠に丁寧かつ詳細なご説明、いつも本当にどうもありがとうございます。
今、ご解説を拝見し、自分なりに考えたのですが、０となるｘを見つけてるのは、傾きが最大となるところなのでしょうか？
この場合の最大の傾きとは、曲線の一番外側となりますか？
公式を見て、ぱっとグラフをイメージすることができるようになれればよいのですが。

回答No.3

statecollege

回答２に質問がおありなら、以前のように補足質問の欄を使って質問してください。

回答No.2

statecollege

あなたからの反応を待っていますが、ありませんね。
回答１を問題の式を用いて具体的に書くと

(*)は　　U = xy + x +y
(**)は　　PX・ｘ + 8y = 120
となる。(**)をｙについて解くと
　　　　　　y = -(PX/8)x + 15

となる。これを(*)に代入し、整理すると

　　　U = -(PX/8)x^2 + (16 - PX/8)x + 15

Uを最大化するためにはｘをいくらに設定すればよいか？それはUをｘについて微分して0と置けばよい。

　　0 = ｄU/dx = -(PX/4)x + 16 - PX/8

よってこれをｘについて解けば

　　ｘ = 　64/PX - 1/2

求める式（X財の需要関数）を得る。これが求める、X財に対するこの消費者の需要関数だ。X財の市場価格PXが与えられると、効用を最大化するX財の消費量が求まることになる。

お礼

ご回答本当にどうもありがとうございます。
今、自分でも解いているところです。
申し訳ございません、大変初歩的な質問なのですが、どうして、UをXについて微分すると、０となるのでしょうか？
正直、ミクロには、マクロ以上にてこずっております。
教えていただけましたら幸いです。

回答No.1

statecollege

ミクロ経済学の基礎がわかっていないようですから、あなたの使っているミクロ経済学の教科書を開いてください。「消費者（あるいは家計）行動の理論」が書いてある章があるでしょう。その章では、効用関数、所得、財の価格が与えられたとき、その消費者(家計）は、予算制約のもとで、どんな消費の組（X財を何単位、Y財を何単位）選択したら、この消費者の効用は最大化されるかを説明しているはずです。この問題は一般的に書くと

(*)　　　　 U = u(x,y)

を.

(**)　　　PX・ｘ　+ PY・y　= I

という制約のもとで最大化する。(*)は効用関数、(**)は予算制約です。ｘは（この消費者の）X財の消費量、ｙはY財の消費量、PXはX財の市場価格、PYはY財の市場価格、Iは（この消費者の）所得です。

教科書にはグラフを使った説明と数式を使った説明の二つがあると思いますが、数式を使った説明を理解するためには、微分の知識が必要ですが、その点は大丈夫なのでしょうか？

お礼

statecollege様、お久しぶりです。
誠に丁寧かつ詳細なご説明、本当にいつもありがとうございます。
お礼が遅くなり、大変申し訳ございません。
正直、微分自体がよくわからず、今、Amazonで微分の本を注文しているところです。