この微分方程式は解けるのでしょうか？

質問

とある事象の確率について考察中です。
その中で、
f(0)=1or lim(x→0)f(x)=1 , lim(x→∞)f(x)=0
∫(0→∞)f(x)dx=1
{∫(t→t+α)f(x)dx}/αf(t)=C 0≦t, αは任意の正の実数。Cは、0<C<1の定数。
という条件が算出されました。
これは、解けるのでしょうか？解けない場合は、その理由を知りたいのです。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

問題文が微妙なのですが、
∀α,∃C, の意味であれば、f(x)=exp(-x) が解になるし、
∃C,∀α, の意味であれば、不可能だと思います。
∀α,∀C, では、無論不可能です。

お礼

回答ありがとうございます。
一行目の
＞∀α,∃C, の意味であれば、f(x)=exp(-x) が解になるし、

は、∃α,∃C の間違いでしょうか？
当方の条件は、∀α,∃Cでした。よって、不可能だと、納得いたしました。
しかし、第一の条件の場合、どのような方法で解いたのか、
当方には、さっぱりわかりませんでした。

もともとの微分方程式の立て方に間違いを見つけ、
新たに立て直した後、alice 44様の解を参考にし、
解くことができました。

回答No.2

noname#148675

そのようなfがあるかという意味だとすると、ない気がします。

f(0)=1の場合
∫[0, α] f(x) dx = αC
α→∞で左辺が1に行くはずですが右辺は∞に発散します。

lim(x→0) f(x)=1という条件を使うとしても
∫[t, t+α] f(x) dx = αC f(t)
でt→0、α→∞の極限に行くと、さっきと同じ矛盾になる…。

お礼

回答ありがとうございます。
私も、何度か、グラフを描いているうちに、noname#48675様と同様の理由に気付きました。
お騒がせいたしました。

回答No.1

Tacosan

確認だけど, 最後の条件の分母はなんでしょうか? 分母は αf(t) ですか?

お礼

捕捉が遅れ申し訳ありませんでした。
分母は、その通りです。
しかし、熟考した結果、あり得ないとの結論に達しました。
お騒がせし、重ねて、お詫びいたします。