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多変数関数の微分についての質問
- 多変数関数f(x,y)による多変数関数g(x,y)の微分∂f/∂gを計算する方法についての質問です。
- 具体例を用いて、f(x,y) = (x+2y)^2とg(x,y) = x+2yの場合とf(x,y) = x+3yとg(x,y) = x+2yの場合について考えています。
- 極限を用いた計算を試みていますが、正しく微分が計算できない場合についての解決方法やこの微分についての名前などについて質問しています。
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#2です。 A#2の補足に関連して 偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。 ∂f/∂gを考える場合 g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。 そしてuで偏微分するときはv=ー定（定数）として扱わないといけません。 A#2では u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。 g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。 このとき f=u+v, v=yと書けますので、他の一定とみなすべき変数vはyに相当します。 v=y=一定とした時 ∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1 （v=y=一定の元で偏微分が存在し定義される） となります。 また、A#2の補足の疑問点の場合には g=x+2y=u,f=u+u/2-x/2=(3/2)u-vと変形できるので u=x+2y,v=x/2という変数変換を使い、∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂uで定義しています。 この偏微分では、 v=x/2=一定とした時 ∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂u=3/2 （v=x/2=一定の元で偏微分が存在し定義される） となります。 偏微分の変数u,vの定義（変数変換）が異なれば、その変数で定義される ∂f/∂g=∂f(u,v)/∂u のf(u,v)が異なってきますので偏微分も異なってくるのは当然のことです。 元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、 xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も 異なってくるということですね。
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- info22_
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u=x+2y,v=yと変数置換すると f=u+v,g=u ∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1
お礼
解答ありがとうございます。 > ∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1 vはv=u/2-x/2ともかけますので、 xを独立変数と考える場合、 ∂f/∂g=∂(u+u/2-x)/∂u=3/2 となってしまいます。 なんとか、独立に考えれればいいのですが・・。
- orcus0930
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無理やり計算してみた．（ちなみにWolfram Alphaは計算してくれなかった．） f = x + 3y = (x + 2y) +y g = x + 2y 目的の微分に線形性が成り立つとするなら． ∂f/∂g = 1 + ∂y/∂g = 1 + 1/(∂g/∂y) = 1 + 1/2 = 3/2 違うなｗ
お礼
考えてくださってありがとうございますー。 1変数関数であれば、 ∂y/∂g = 1/(∂g/∂y) は成り立ちそうなのですが、多変数関数の場合、 gがg+dgだけ変化したとき、yだけが変化するわけではなく、 xも変化しうるため、上記式は成り立たないのではないかと考えています。 もし、成り立つのであれば、問題は全て解決しそうなのですが・・。
お礼
詳しい解説ありがとうございます。 お返事遅くなりまして申し訳ありません。 > 元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、 > xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も > 異なってくるということですね。 なるほど、納得しました。 考えてみれば当然でした。結局答えとしては、解が複数個あるということになるのでしょう。 （無限個あるかどうかは、わかりませんが。） 私が当初想定していたように、答えが一意に定まるとすれば、常微分に一致するはず。 しかし、今回の例ではfがgのみの関数としてあらわす事が（おそらく）不可能であり、結果として常微分にはなりえず、私の期待する唯一の解は存在しない。 おそらく、これが、私の疑問に対する答えのように思います。 非常に参考になりました。 ありがとうございました。