この逆関数の求め方は間違っていますか？

質問

「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」
という問題が分かりません．
与式を変形して2y=e^x-e^(-x)
e^2x-2ye^x-1=0
e^x>0を考慮して，解の公式よりe^x=y+√(1+y^2)
両辺の対数をとって（表現が間違っているかもしれません）
x=log{y+√(1+y^2)}
yを変数xについての関数とするために入れ替えて
y=log|x+√(1+x^2)|　（与式の値域より右辺の真数>0となるよう，絶対値記号を用いています．）
とすれば解答と一致します．

ですが，次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます．
y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2
f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より，f(x)は増加関数
逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます．
逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1)
この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+C
関数y=f(x)は(0,0)を通るから，逆関数も(0,0)を通る．このことからC=-π/2を得る．
よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2
ですが，これは先ほどの解答とは異なる気がします．
後半の解法はどこが間違えているのですか？

回答No.3

noname#133363 · ベストアンサー

rnakamraさんの回答を少し言い換えると

問題の関数fの逆関数f^(-1)に関して成り立つのは

(f^(-1)) '(x) = 1/f '(f^(-1)(x))　　　(1)

という等式です。

(1)は、
f^(-1) (f(x))=x
の両辺を微分して得られる等式を変形して、x=f^(-1)(y)を代入し、最後にyをxで置き換えれば得られます。

(1)の代わりに
(f^(-1)) '(x) = 1/f '(x)
としてるのが、質問文中の
[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}
ではないでしょうか。
これは必ずしも成り立ちません。

あと、細かい点ですが、すべての実数xで
x+√(1+x^2)>0
ですから、絶対値記号はなくても構いません。

お礼

ありがとうございます．
僕の方法は必ず成り立つわけではないのですね．考え直します．
確かに絶対値記号でなくてもいいですね．解答を鵜呑みにしていました．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

rnakamra

>逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます．
>逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}

ここからして違う。
y=f^(-1)(x) から x=f(y)
この式の両辺をxで微分すると
1=y'*f'(y)=y'*{e^y-e^(-y)}/2
y'=2/{e^y+e^(-y)}
となります。

補足

ありがとうございます．
確かに逆関数の導関数は2/{e^y+e^(-y)}だと思います．
しかし，解答でもxとyを入れ替えています．なので2/{e^x+e^(-x)}だと思ったのですが．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

spring135

＞逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます．
逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1)

逆関数と逆数の関数と混乱しています。
逆関数を求めようとしているのにその導関数が出ること自体が矛盾です。

補足

ありがとうございます．
dy/dx=1/(dx/dy)
ではないのですか？
これからもよろしくお願いします．