逆関数の微分 （数III）

質問

(x^3)'=3x^2 dy/dx=1
dx/dyを用いてy=x^3の逆関数y=f(x)の導関数を求めよ。

dx/dyを使わなくていいなら・・・　x=y^(1/3)として
x'=1/3x^(2/3)　という風にすぐもとまるのですが・・・。

模範解答は
y=f(x)についてはx=y^3であり、・・・(1)
y＝x^(1/3)
df(x)/dx =1/(dx/dy)・・・(2) =1/3y^2 = 1/3x^(2/3)・・・
(3)
疑問点があるところに○で番号を振りました。
(1)について、　逆関数とはy=～　という関数x=～という風に書き換えてからx,yを入れ替えるものですよね？

(2)f(x)はy=x^3の逆関数なんですよね？
　ってことはf(x)の逆関数は1/f(x)でありf(x）ってのはyの逆数であるから1/yがf(x)？
なんか混乱してしまいました・・・（すみません汗

(3)y=x^(1/3)　を代入したのでしょうか・・・？これってy=x^3の逆関数ですよね・・・？

模範解答の作業中にいつのまに逆関数y=x^(1/3)を求めたのでしょうか・・・？

回答よろしくおねがいします！

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> (1)について、　逆関数とはy=～　という関数x=～という風に書き換えてからx,yを入れ替えるものですよね？

xとyを入れ替えるタイミングはどこでもいいです。
模範解答のように最初にxとyを入れ替えても問題ありません。
ただ、x = ～という形にしてからxとyを入れ替えると
すぐにy = ～という（おそらく一番）わかりやすい形が出てくるので、
学校ではそう教えているのでしょう。

> (2)f(x)はy=x^3の逆関数なんですよね？

そうです。

> 　ってことはf(x)の逆関数は1/f(x)でありf(x）ってのはyの逆数であるから1/yがf(x)？

逆数と逆関数は違うものです。
f(x)の逆関数は1/f(x)ではありません（中にはそうなるものもあるかもしれませんが）。
例えばy = x^2(0≦x)の逆関数はy = x^(1/2)ですが、
x^2の逆数はx^(-2)です。
(逆関数)≠(逆数)ですよね？

> (3)y=x^(1/3)　を代入したのでしょうか・・・？これってy=x^3の逆関数ですよね・・・？
> 模範解答の作業中にいつのまに逆関数y=x^(1/3)を求めたのでしょうか・・・？

この部分に書いてあります。
―――――――――――――――――――
模範解答は
y=f(x)についてはx=y^3であり、・・・(1)
y＝x^(1/3)
―――――――――――――――――――
この文章は
『y = f(x)の逆関数は、
　y = x^3のxとyを入れ替えるとx = y^3になるから
　変形してy = x^(1/3)。
　よってy = f(x)の逆関数はy = x^(1/3)。』
という意味だと思います。

回答No.3

R_Earl

> df(x)/dx = 1/(dx/dy)
> なぜこういう変形が起こるのか？ってところがまだひとつ疑問としてのこっています。

まず、この問題ではy = f(x)としていますよね？
そうするとdf(x)/dx = 1/(dx/dy)の左辺のdf(x)/dxは
df(x)/dx = dy/dx
と変形できます。つまり
dy/dx = 1/(dx/dy)
です。
ここでdy/dyとdy/dyを分数として考えてみます。
左辺dy/dxの分子分母をdyで割ってみると、
(dy÷dy) / (dx÷dy) = 1/(dx/dy)
となります。これは右辺の形と一致していませんか？
逆に右辺1/(dx/dy)の分子分母にdyをかけると、
(1 × dy) / {(dx/dy)×dy} = dy/dx
となって、左辺と一致します。

微分係数はこんな風に分数の式変形みたいなことができます。
（合成関数の微分法でも同様の式変形ができます。）
ただ、この分数のような式変形は全ての場合で使えるわけではないので、
逆関数の微分法でこのような式変形みたいなことができるのは
たまたまだと考えてもいいかもしれません。

お礼

なるほど～　そういうことでしたか！解決しました！
学校の先生が以前dy/dx　について
「おまえら dy/dxをdx分のdyなんて読むなよ～　読み方知らないでそんなこといってると理系なんだから大学いって馬鹿にされるぞ～（笑　けどdy/dxは実質dx分のdyと同じようなもんだけどな」
みたいなことをいってたことを思い出しました！

回答No.2

R_Earl

ANo.1です。
(3)への回答が間違ってますので、訂正します。

> (3)y=x^(1/3)　を代入したのでしょうか・・・？これってy=x^3の逆関数ですよね・・・？
> 模範解答の作業中にいつのまに逆関数y=x^(1/3)を求めたのでしょうか・・・？

この部分に書いてあります。
―――――――――――――――――――
模範解答は
y=f(x)についてはx=y^3であり、・・・(1)
y＝x^(1/3)
―――――――――――――――――――
この文章は
『y = x^3の逆関数y = f(x)は、
　y = x^3のxとyを入れ替えるとx = y^3
　（変形してy = x^(1/3)。）になるから
　y = x^3の逆関数はy = x^(1/3)。』
という意味だと思います。

補足

丁寧にありがとうございます！納得いきました！

ところで何度もすみません、自分は説明力不足で恐縮なのですが・・・

df(x)/dx = 1/(dx/dy)
なぜこういう変形が起こるのか？ってところがまだひとつ疑問としてのこっています。

はじめのdf(x)/dxは納得できます　f(x)の導関数を求めたいのだからdf(x)/dx　とそのままですよね
でも上の式の右辺では、「x=というしきをyについて微分したものの逆数」
なぜ逆数かと思ったかというと「aの逆数は1/aであるように、dx/dyの逆数は1/(dx/dy)であるからです」

なんか一度に何個もの作業がされているようで混乱してしまいました・・・。

☆先ほどのご回答にあるように、逆関数≠逆数というのは納得できましたありがとうございます！

ただこの問題のこの部分は逆数のように見えてしまいました・・・