数Ⅱ 逆関数の導関数について

質問

次の問題の違いを教えてください。

(1)次の関数の逆関数の導dx/dyを求めよ。
　y=x^5 (x>0)
(2)次の関数の逆関数を作り、その導関数を求めよ。
　y=x^4 (x>0)

(1)は、dx/dy=1/(dy/dx)を使って答えが合うのですが、(2)は合いません。
なぜなのかを教えていただきたいです。

回答No.7

muturajcp · ベストアンサー

(1)
関数
y=x^5 (x>0)
は
xに対してy=x^5を対応させる関数
(x→y=x^5)(xは独立変数,yは従属変数)
です
その逆関数は
yに対してx=y^(1/5)を対応させる関数
(y→x=y^(1/5))(yは独立変数,xは従属変数)
です

関数(x→y=x^5)の導関数は
dy/dx=5x^4
と独立変数xで表されるので

関数(y→x=y^(1/5))の導関数
dx/dy=1/(5x^4)=(1/5)x^(-4)
も独立変数yで表すと
x=y^(1/5)
だから
dx/dy=(1/5)y^(-4/5)
となります

(2)
y=x^4 (x>0)
は
xに対してy=x^4を対応させる関数
(x→y=x^4)(xは独立変数,yは従属変数)
です
その逆関数は
yに対してx=y^(1/4)を対応させる関数
(y→x=y^(1/4))(yは独立変数,xは従属変数)
です

関数(x→y=x^4)の導関数は
dy/dx=4x^3
と独立変数xで表されるので

関数(y→x=y^(1/4))の導関数
dx/dy=1/(4x^3)=(1/4)x^(-3)
も独立変数yで表すと
x=y^(1/4)だから
∴
dx/dy=(1/4)y^(-3/4)

となります

xとyの変数名を入れ替えると
関数(x→y=x^(1/4))の導関数
は
(1/4)x^(-3/4)
となるので

関数(y→x=y^(1/4))の導関数
1/(4x^3)
と
関数(x→y=x^(1/4))の導関数
(1/4)x^(-3/4)
は
同じものです

お礼

詳しくありがとうございました。

回答No.6

muturajcp

(1)
y=x^5 (x>0)
dy/dx=5x^4
dx/dy=1/(5x^4)

(2)
y=x^4 (x>0)
dy/dx=4x^3
dx/dy=1/(4x^3)
dx/dy=(1/4)x^(-3)
↓x=y^(1/4)だから
∴
dx/dy=(1/4)y^(-3/4)

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

f272

そもそも「逆関数の導dx/dy」って何？

お礼

誤字です。

回答No.4

asuncion

逆数の導関数と
逆関数の導関数が
ゴッチャになっているから
ではないでしょうか。

お礼

考えてみます。

回答No.3

asuncion

微分の逆数と逆関数の微分とは異なるってことでしょうね。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

asuncion

y = x^4の逆関数を求める。
x = y^4をyについて解いて、y = x^(1/4)
これをxについて微分して、y' = (1/4)x^(1/4 - 1) = (1/4)x^(-3/4)

補足

なぜ、(1)と同様のやり方だと答えがもとまらないのですか？

回答No.1

asuncion

なぜなのかを知りたければ、ご自分が出した答えを
提示すべきなのではないでしょうか。

補足

(1)は1/5x^4で合います。
(2)は、(1)同様にやると1/4x^3となるはずですが、解答は、-1/4×(x^3)の4乗根となっています。