逆関数の導関数

質問

dy/dx＝1/dx/dy
↑より、y＝f(x)の逆関数x＝g(y)の微分可能性については、逆関数を具体的に求めなくても判定できる。
すなわち　　x0⇔f(x0) (→がf,←がg)
(適した記号が見つからなかったので、同値記号で勘弁してください。)
「f'(x0)≠0ならばfの逆関数gはf(x0)で微分可能で
g'(f(x0))＝1/f'(x0) であることを示してる。」
と書いてあったのですが、よくわかりません。
なぜ、そのようなことがいえるのでしょうか？
全体的にわかりません、解説よろしくお願いします。

回答No.4

toranekosan · ベストアンサー

えーと、それはまず微分の基本に戻って考える方が、グラフで曖昧に思い込むより、確実であると思います。

論点の始めとして、「まずf(x)が微分可能とは」
微分可能という時には、どのxの値で微分可能であるのか、もしくは微分不可能であるのかということも考えなければいけません。
微分係数の定義　∂(f(x))/∂x=lim(e→0)(f(x+e)-f(x))/(x+e-x)
このeを０にした時、微分係数が不定、つまり∞あるいは-∞に発散する時、微分不可能と言います。
これはf(x)が連続あっても無くても不可能です。
微分不可能なものとして、例えば、
f(x)= 2 (0＜x)
-2(x≦0)
の時、∂(f(0))/∂x=lim(e→0)(f(e)-f(0))/e
　　　　　　　　　=lim(e→0)(2+2)/e=∞
あるいはf(x)=(|x|)^(3/2)/x ∂(f(0))/∂x=∞
などです。

さて、今度は逆関数の微分に関してです。

逆関数をx=g(y)で表すと
∂(g(y))/∂y=lim(e→0)(g(y+e)-g(y))/(y+e-y)
これを元もとの表現方法でy=f(x)を使って書き直すと、
=lim(d→0)(x+d-x)/(f(x+d)-f(x))
ここで注意するのは、eとdは違う値です。
g(y+e)=x+d
y+e=f(x+d)
を満たすdは逆関数g(y)が存在するなら必ず見出せるはずです。
=lim(d→0)(d)/(f(x+d)-f(x))

逆関数が微分不可能である場合とは、
lim(d→0)(d)/(f(x+d)-f(x))が不定となる場合です。
逆にこれが一定の値を持つのであれば、微分可能
であるということになります。
もちろん、lim(d→0)(f(x+d)-f(x))/(x+d-x)
が０となるとlim(d→0)(d)/(f(x+d)-f(x))は
不定となりますね。

まとめると、逆関数が見出せたのなら、逆関数の微分係数は元の関数の微分係数を使って表せるが、元の関数の微分係数が０であるような場合、逆関数の微分係数は不定なり、微分不可能である、と言う事。

ある点x0で、関数f(x)が微分可能で、その微分係数f'(x0)が0で無ければ、逆関数g(x)は微分可能である。
その時の微分係数はf(x)を使って表す事が出来き、
y0=f(x0)とするならば、
g'(y0)=∂(g(y0))/∂x=lim(e→0)(g(y0+e)-g(y0))/(y0+e-y0)
==lim(d→0)(x0+d-x0)/(f(x0+d)-f(x0))
=1/f'(x0)
すべてをx0で書き表すならば、
g'(y0)=g'(f(x0))=1/f'(x0)
となる。

と言う事をいっています。

逆の考え方で、f(x)で微分係数が∞になったとして、
そしたら、逆関数は微分係数は０であると確実に言えます。-∞になったとしても逆関数の微分係数は０ですね。

微分係数が０であるとは、y=f(x)でいうところの、傾きがx軸と平行である事。微分係数が∞あるいは-∞ならば、y軸と平行である事。この点を考えて初めてグラフで理解出来るわけです。そしてなぜ微分係数の０が∞かでそのようにいえるかというと、再度微分係数の定義式を見直さなければいけません。これは課題と言う事で。

ではでは

お礼

皆さん色々ありがとうござました。

回答No.3

ojisan7

f(x0)の付近のグラフを描いて見てください。ｘ軸上で、x0からdxの増分に対して、ｙ軸上でf(x0)からｄyの増分が対応します。このとき、点(x0,F(x0))におけるグラフの接線の傾きが、dy/dxです。これを、ｙ軸からみてみましょう。ｙの増分ｄyに対して、ｘの増分がｄxですから、ｙ軸から見た接線の傾きはdx/dyとなります。

逆関数というのは、ｘ軸から見ていた関数のグラフを、９０度左に回して、ｙ軸から見たものだと思えばよいのです。

回答No.2

yumisamisiidesu

要は　「元の関数が微分可能で逆関数が存在すれば、逆関数も微分可能になる」　ということが保証されることを言いたいのです.

回答No.1

ojisan7

高校生ですか、もし、高校生ならf(x0)の付近のグラフを描いてみれば、明らかだと思います。大学生なら、証明をすることが必要です。グラフを見ながら、証明を考えて下さい。そんなに、難しくはないと思います。

補足

書き方が悪かったですかね・・・・
証明どうこうというわけでなく、
全体的に何をいってるかよくわからないので、
説明していただけないでしょうかということです。
説明不足でした。。