逆関数の積分

質問

g(f(x))=xの時、∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b]g(y)dyがわかりません。通常、変数をxからyに変換する時は、対応する変域が変わるのと、dxをdyに変換する関係式が必要だと思いますが、単純にxとyを入れ替えて成り立つのでしょうか。（2008東北大の問題）

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

納得がいかなければ、実際に f(x) = x^2, g(x) = √x, a = 2, b = 3とかして、計算をしてみてはどうだろうか。

お礼

tmppassengerさま
ご意見のように計算すると
∫[a,b]f(y)dy = ∫[a,b]f(x)dx
が成り立つことがわかりました。
自分でグラフを描いてイメージを掴むこともできました。
スッキリしました。

回答No.2

tmppassenger

やっぱりわかってない。

∫[a,b]f(y)dy = ∫[a,b]f(x)dx

という所「だけ」を眺めてみると、これは当たり前でしょう？まだすっきりしないのであれば、一度 t = yとでもして置換積分をして、dt=dy となるから ∫[a,b]f(y)dy = ∫[a,b]f(t)dt として、今度はもう一回 x= tとして dx = dt とかして置換積分するといい。

回答No.1

tmppassenger

∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b]g(y)dy という式に、どこにもfは出てきてないではないですか。これだと単にxという変数（文字）をyに置きかえただけで、当たり前に成り立つ式です。

補足

tmppassengerさま
失礼しました。
y=f(x)の逆関数をy=g(x)とすると、g(f(x))=xが成り立ちます。
次の式を証明せよ、という問題です。
∫[f(a),f(b)]g(x)dxー∫[a,b]f(x)dx=bf(b)-af(a)
この問題で、
∫[f(a),f(b)]g(x)dx=∫[a,b]g(f(y))f'(y)dy=∫[a,b]yf'(y)dy=[yf(y)][a,b]-∫[a,b]f(y)dy
=bf(b)-af(a)-∫[a,b]f(y)dyとなります。
その次に、
bf(b)-af(a)-∫[a,b]f(y)dy=bf(b)-af(a)-∫[a,b]f(x)dx
となるところがわかりません。
変数を変えるときは、変域が変わるし、dyからdxへの変換が必要になると思います。
よろしくお願いします。