逆関数の微分 問題

質問

逆関数の微分　問題

1.x=（y^2-1）/（y^2+1）のとき、dy/dxを求めよ。
　dy/dx=1/（dx/dy）である。商の微分より、
　dx/dy=（4y）/（y^2+1）^2
　dy/dx=（y^2+1）^2/（4y）

2.y=e^xyのとき、dy/dxを求めよ。
　logy=xy→x=logy/y
　dy/dx=1/（dx/dy）である。商の微分より、
　dx/dy=（1-logy）/y^2
　dy/dx=y^2/（1-logy）

答えは合っているでしょうか？
ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

１、２とも、答は問題ないようです。

別解として、陰関数の微分、という手を使う方法もあり、それだと…

１は、両辺に(y^2-1)をかけて、x(y^2-1) = y^2-1
両辺を、xで微分して(左辺は、積の微分)
x*2yy' + y^2 - 1 = 2yy'、
これを、y'について解きます。
答はx,yが両方出てくる形になりますが、特に指示がなければ、それで問題なく、
yに統一したいなら、元の等式を代入します。

２は、y' = e^(xy) * (xy)' = y * (xy' + y) となりますから、
やはり、これを、y'について解いて、以下同様です。

お礼

ご回答ありがとうございました。