数学の問題です

質問

a∈ＲとＲの部分集合Ｊに対して、

∃ｃ＞０ （a-c,a+c)⊂Ｊ

が満たされるとき、「Ｊはaの近傍である」と定義する。（ただし、（a-c,a+c)は開空間｛x∈Ｒ｜a-c<x<a+c}を表す。）この定義に基づいて、次の問いを証明せよ。

（１）
Ｊ[1],J[2]がいずれもaの近傍であるならば、Ｊ[1]∩Ｊ[2]もaの近傍である。

（２）
a,b∈Ｒ,a≠ｂであれば、aの近傍Ｊ[1]およびbの近傍Ｊ[2]であってＪ[1]∩Ｊ[2]＝∅をみたすものが存在する。

どちらかだけでもいいので回答をいただけると嬉しいです！

回答No.2

think2nd

"どちらかだけでもいいので回答を頂けると嬉しいです。"
なんて、なんか、あなたに問題に取りつくチャレンジ精神があるのかどうか勘ぐってしまいますよ。
質問なんでしょうか、、お願いなんでしょうか?　ね(ー_ー)!!
なんか、言い訳を書いてくれるとうれしいです。

あとJ[1]って何ですか、おそらく[1]は添え数の意味だと思います。以下それらをJ1、J2と書きます。
　ただしc1,c2は実数です。(1,2も単なる添え数です。)
　また実数aの近傍をV(a)と書きます。ご理解ください。
使う知識は実数の稠密性と、集合の基礎知識です。(1)のほうで重箱の隅をつつくような書き方をします。
(1)　仮定より∃ｃ1＞０ （a-c1,a+c1)⊂Ｊ1
　　　　　　　∃ｃ2＞０ （a-c2,a+c2)⊂Ｊ2
　が成り立ちます。　ここでmin{c1,c2}=cとおくと
　　　　　　a-ci<=a-c<a<a+c<=a+ci　(i=1,2)…(1)'
が成り立つから
　　　　　　　　(a-c,a+c)⊂V(a)　が言えます。

　　さて　x∊Ｊ1∩Ｊ2を満たす任意のxについてxは
　　　　　x∊Ｊ1だから　a-c1<x<a+c1　かつ　x∊Ｊ2　a-c2<x<a+c2
　　　　を満たしている。よって(1)'よりa-c<x<a+c　が言えるから、
　　　　x∊(a-c,a+c)　すなわち　x∊V(a)　がいえるから
　　　　Ｊ1∩Ｊ2⊂V(a)と結論できる。

　(2)たとえばa<bと仮定して実数aとbとの間には隙間があるから稠密性よりa<c<bとなる実数cが存在することつまりc-aとb-cは0にならないことが突破口の最初の一歩かな。
　好奇心とチャレンジ精神があればできると思うよ、。
　Do　your　utmost!

回答No.1

stomachman

とても簡単な問題で、どこが分からんのか想像もできんのですが、ま、

任意の実数dについて、

● d ＞ 0 ならば (a-d,a+d)はaの近傍である。

● ( (a-c,a+c)⊂Ｊ かつ c ≧ d ＞ 0 ) ならば (a-d,a+d)⊂Ｊである。

をまず証明なさいませ。