大学数学 条件付きの極値

質問

次の問題が解けなくて困っています。よろしくお願いします

与えられた条件の下で、関数f(x,y)の極地とその解を求めよ
f(x,y)=x^3+y 条件：x^2-(1/4)y^2=1

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の図を描いたので添付します。
ANo.1の[別解]の追加補足です。

>[別解]
>　x=u, y/2=vとおけば
>　f(u,2v)=u^3+2v=g(u,v), 条件:u^2=v^2+1
>となります。
>さらにv=tan(t)(|t|<π/2)とおけば u=1/cos(t)(>0)
誤: u=1/cos(t)(>0)
正: u=±1/cos(t) (cos(t)>0)

>この時条件：u^2=v^2+1は常に満たされる。

以下、u=1/cos(t)(>0)の場合になります。

[1] u=1/cos(t)(>0)すなわちx>0の場合(添付図のx>0のz=f(x,y)(>0)の青線のグラフ参照）
>　g(u,v)=(1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
>　h'(t)=3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
>　 ={3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
>　 =(2-sin(t))(2sin(t)+1)/(cos(t))^4
>sin(t)=-1/2,t=-π/6でh'(t)=0
>-π/2<t<-π/6でh'(t)<0, -π/6<t<π/2でh'(t)>0
>t=-π/6で極小値（最小値）h(-π/6)=(2/√3)^3-2/√3=2√3/9 をとる
>極大値は無い（t→π/2-でh(t)→∞、t→-π/2+でh(t)→∞）。
>t=-π/6のとき x=u=2/√3, v=-1/√3, y=2v=-2/√3

---以下追加分です。----
[2] u=-1/cos(t)(<0)すなわちx<0の場合(添付図のx<0のz=f(x,y)(<0)の青線のグラフ参照）
　g(u,v)=(-1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
　h'(t)=-3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
　 ={-3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
　 =-(2+sin(t))(2sin(t)-1)/(cos(t))^4
sin(t)=1/2,t=π/6でh'(t)=0
-π/2<t<π/6でh'(t)>0, π/6<t<π/2でh'(t)<0
t=π/6で極大値（最大値）h(π/6)=-(2/√3)^3+2/√3=-2√3/9 をとる
極小値は無い（t→π/2-でh(t)→-∞、t→-π/2+でh(t)→-∞）。
t=π/6のとき x=u=-2/√3, v=1/√3, y=2v=2/√3

[1],[2]まとめると
x=2/√3、y=-2/√3のとき極小値f(2/√3,-2/√3)=2√3/9をとり
x=-2/√3、y=2/√3のとき極大値f(-2/√3,2/√3)=-2√3/9をとる。
（添付図のグラフの説明)
青丸のところが極小値、極大値、淡い青の曲面がz=f(x,y)=x^3+y,黒線がz=0平面上の双曲線x^2-(1/4)y^2=1
のグラフ、青線グラフが曲面z=f(x,y)と双曲面x^2-(1/4)y^2=1との交線のグラフです。

お礼

遅くなってしまいましたが、ありがとうございます！
グラフのおかげで、この手の問題が意図している部分が何なのか理解できました。

回答No.1

info22_

x^2-(1/4)y^2=1 より
y≧0のとき y=2√(x^2-1) ⇒ f(x,y)=x^3+2√(x^2-1)=g(x)
y＜0のとき y=-2√(x^2-1) ⇒ f(x,y)=x^3-2√(x^2-1)=g(x)
と場合分けして、xだけの関数g(x)の増減表を作成して極値を求め、
場合分けを合わせてまとめればいいでしょう。
（高校数学レベルで解ける）

[別解]
　x=u, y/2=vとおけば
　f(u,2v)=u^3+2v=g(u,v), 条件:u^2=v^2+1
となります。
さらにv=tan(t)(|t|<π/2)とおけば u=1/cos(t)(>0)
この時条件：u^2=v^2+1は常に満たされる。
　g(u,v)=(1/cos(t))^3 +2tan(t)=h(t)
　h'(t)=3sin(t)/(cos(t))^4 +2/(cos(t))^2
　 ={3sin(t)+2-2(sin(t))^2}/(cos(t))^4
　 =(2-sin(t))(2sin(t)+1)/(cos(t))^4
sin(t)=-1/2,t=-π/6でh'(t)=0
-π/2<t<-π/6でh'(t)<0, -π/6<t<π/2でh'(t)>0
t=-π/6で極小値（最小値）h(-π/6)=(2/√3)^3-2/√3=2√3/9 をとる
極大値は無い（t→π/2-でh(t)→∞、t→-π/2+でh(t)→∞）。
t=-π/6のとき x=u=2/√3, v=-1/√3, y=2v=-2/√3