極値の求め方

質問

関数のf(x,y)＝x⁴+y⁴-2x³+4xy-2y²の極値を求めたいんですが、連立方程式
∂f/∂x＝4x³-6x²+4y＝0
∂f/∂y＝4y³-4y+4x＝0
を解きたいんですが、解を求められません。
どのように解けばいいでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f(x,y)＝x⁴+y⁴-2x³+4xy-2y ...(1)
∂f/∂x＝4x³-6x²+4y＝0 ...(2)
∂f/∂y＝4y³-4y+4x＝0 ...(3)

(3)より　
　x=y-y^3　...(4)
(4)を(2)に代入し整理すると
　y(2y^8-6y^6+3y^5+6y^4-6y^3-2y^2+3y-2)=0　...(5)
　y=0　または
　2y^8-6y^6+3y^5+6y^4-6y^3-2y^2+3y-2=0 ...(6)
y=0のとき(4)より　x=0
2y^8-6y^6+3y^5+6y^4-6y^3-2y^2+3y-2=0のとき
この8次連立方程式は解析的には解けませんので数値解析で解を求めると
2つの実数解がある（左辺のグラフを書けば実数解の個数が分かる）ので
それを求める（高校数学で習うニュートン法（ニュートン=ラプソン法）など
を使う）と
　y=-1.506410690875647, 1.262329616814295
y=-1.506410690875647のとき (4)から x=1.912046672303619
y=1.262329616814295のとき　(4)から x=-0.74916240928473

(2),(3)の解つまり停留点は以下の3個となります。
　(x,y)=(0,0),(1.912046672303619,-1.506410690875647),
　　　　(-0.74916240928473, 1.262329616814295)

この後の極値の判別法が分からなければ、補足に途中計算を書いて質問ください。
極値の判別法の参考URL
http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node55.html

なお、
３つの停留点に対して極値の判別法を適用すれば以下のような結果が得られます。
f(0,0)=0 これは鞍点であり極値ではありません。
(1.912046672303619,-1.506410690875647)と(-0.74916240928473, 1.262329616814295)は
共に極小値をとります。

f(1.912046672303619,-1.506410690875647)=-11.52507547004558(極小値かつ最小値)

f(-0.74916240928473, 1.262329616814295)=-3.274624283781493(極小値)

極大値は存在しません。

お礼

ありがとうございます。
因数定理を使って解くことはどうやら厳しそうですね。
参考にさせて頂きます。

回答No.1

ramayana

∂f/∂x = 0 の式から、

（１）　y = -x^3 + 1.5x^2

です。これを、∂f/∂y = 0 の式に代入して、 x の9次方程式が得られます。これの実数解を（１）式に代入して、yも計算されます。

解は、次の３個。

x = 0
y = 0

x = 1.91204667230362759718[6.37E-21]
y = -1.506410690875647499075[4.25E-22]

x = -0.74916240928473340113 [5.73E-21]
y = -1.506410690875647499075[5.66E-22]

[ ]内は、誤差。

お礼

ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。