条件付きの極値の問題

質問

g(x,y)=x^2 -(1/4)y^2 -1 のもとでの関数f(x,y)= x^3 + y の極値を求めろ、という問題で

F(x,y,λ)= x^3 + y -λ(x^2 -(1/4)y^2 -1) とおき、それぞれ微分したFx,Fy,Fλを求めます。

そこから(x,y)(±2/ルート3,-+2/ルート3)の二点がf(x,y)の条件付きの極値の候補点として求まります。

(2/ルート3,-2/ルート3)の近くでg(x,y)=0の陰関数をy=ψ(x)とおき、p(x,ψ(x))とおく。

p(x,ψ(x))＝０を繰り返し微分して、
するとψ'(2/ルート3)=-4 ψ''(2/ルート3)=6 ルート３
となるようなのですが、それがどうしてそうなるのかがわかりません。
どんな計算でψ'(2/ルート3)=-4 ψ''(2/ルート3)=6 ルート３ が求まるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

言葉がいろいろとたりない.
まず「g(x,y)=x^2 -(1/4)y^2 -1 のもとでの関数f(x,y)= x^3 + y の極値を求めろ」という問題が既におかしい. これでは g(x, y) がまったく制約条件になっていない.
次に「(2/ルート3,-2/ルート3)の近くでg(x,y)=0の陰関数をy=ψ(x)とおき、p(x,ψ(x))とおく。」と書いているが, 何を「p(x, ψ(x)) とおく」のかが書かれていない. あ, 「g(x,y)=0の陰関数をy=ψ(x)とおき」も日本語としておかしいな.

本題としては p(x, ψ(x)) = 0 を x で微分すると「x, ψ と ψ' を含んだ式」が出るはずだから, そこから ψ'(x) を求める, とかそんなもんだろ.