極値を持つ条件

質問

nは正の整数、a,b,c,dは実数でa^2+b^2+c^2>0を満たす
ものとする。実数x,y,zがx^n+y^n+z^n=1を満たす時
関数f=ax+by+cz+dについて次の問に答えよ
(1)fが最大値、最小値を持つのはｎがどのような整数を持つ場合か？

解答でn=2,4,6・・・とだけ書いてあったのですが何故
このような整数の時に、ｆが最小値、最大値を持つのかよくわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

nabla

＞コンパクト集合という単語がよくわからないんですが

そうですかmouse1e3さんは高校生ですか？
てっきり大学の問題かと思ってしまい失礼しました。

高校の範囲で解くのでしたら、やはりnが奇数の時と同様にzを止めて、fを１変数関数と思って最大値・最小値があることを言うのがいいでしょう。

つまりzを１つ固定します。（ただし-1と1の間で）
このときfはxのみの関数ですが、xが動ける範囲は-(1-z^n)^(1/n)から(1-z^n)^(1/n)までです。
ここで「閉区間上の連続関数は最大値・最小値を持つ」という事実を使いましょう。するとfは与えられたzに対して最大値・最小値を持ちますので、それをmax(z),min(z)と書くことにしましょう。
今度はzが-1と1の間を動くことに注意して、max(z),min(z)に対して
「閉区間上の連続関数は最大値・最小値を持つ」を使います。すると再びmax(z)は最大値を持ち、min(z)は最小値を持つことが分かります。これらはf自体の最大値・最小値となっています。

以下はコンパクト集合についてです。
高校で「閉区間上の連続関数は最大値・最小値を持つ」という事実を習ったと思います。（証明はやっていないと思いますが）
これを多変数関数に拡張したものが「閉集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ」です。
閉集合というのは閉区間を２次元以上に拡張したもので"境界を含む集合"のことです。（１次元の閉区間は境界を含む区間でした）
あんまりうるさいことを言うと面倒臭がられそうなので、これは蛇足と思ってもらっていいです。
"境界を含む集合"という言い方は多少不正確で"境界があればそれを含む集合"というのが厳密で、そういう意味では[a,∞)や(-∞,∞)等も閉区間です。
このことから正しい主張は「有界閉集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ」となります。
問題のコンパクト集合というのは要するに有界閉集合のことです。
本当はコンパクトは有界閉集合よりも広い概念で、直感的に考える空間を厳密に定義した位相空間における有界閉集合をコンパクト集合と呼んでいます。

回答No.1

nabla

nが偶数の時
{(x,y,z)∈R^3;x^n+y^n+z^n=1}はコンパクトなのでfは最大値・最小値を持ちます。
nが奇数の時
a^2+b^2+c^2>0なのでa≠0とします。
a=b=cの場合とa-b≠0の場合に分けて考えれば
"nが奇数のときfは最大値・最小値を持たない"ことがわかります。
（もうちょっと簡潔に示せるかもしれません）

nの偶奇分けに気づくためのポイントは"コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を持つ"という定理です。

お礼

すいません、コンパクト集合という単語がよくわからないんですが、この問題はこの意味がわかっていないと解けないような問題なんでしょうか？