2変数関数の極値について

質問

f(x,y)=(x^3)(y^2)の極値を求めよ
という問題なのですが、偏導関数が0となる点を調べたところ
x軸とy軸という解が出ました。しかし、これをDに代入すると
D=0となり、極値の判定ができません。
D=0の場合、関数により対処法が違うということは知っているのですが
この場合どうすればいいかわからないのでお力をお借りしたいです。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

Dの定義式は何でしょうか？
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか？

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0)　(a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0 　(a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義（狭義の定義）：
　(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)＜f(x,y)を満たすとき
　(x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。

極大値の定義（狭義の定義）：
　(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)＞f(x,y)を満たすとき
　(x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。

これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について

停留点候補
(0,a),(b,0)　(a, bは任意の実数)
のいずれについても（狭義の意味での）極値を取らないことが分かります。
∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a),
f(0,a)=0＜f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0),
f(0,a)=0＞f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0),
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b),
　 f(b,0)=0＜f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0)
　 f(b,0)=0＞f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0)
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
また停留点(0,0)について
　　f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0)
　　f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0)
　　f(0,0)=0＜f(t,t)=t^5 (t>0)
　　f(0,0)=0＞f(t,t)=t^5 (t<0)
　 極大値、極小値の（狭義の）定義も満たさない。
以上から、（狭義の意味で）極値が存在しないことが言えます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/極値

お礼

回答ありがとうございます。
Dの式は回答にあるもので合っています。
おかげさまで理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#166207

例えばy軸上の点(0, y*)を考えてみる。
y*は0でない数とする。
この点の任意の近傍と領域x>0の共通部分ではf(x,y)>0。
領域x<0との共通部分ではf(x,y)<0なのでf(0,y*)=0は極大でも極小でもない。
といった感じでチェックするのはどうでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
教科書にはこの回答にあるような方法があったのですが
いまいち理解できませんでした。