大学数学「空間ベクトル」の問題がわかりません

質問

次のような問題の解法を教えてください。

２変数関数ｆ（ｘ，ｙ）の等高線とは、ｆ（ｘ，ｙ）＝一定という条件で定義される曲線である。ただし、勾配ベクトルが０にならないところでだけ等高線を考えるとする。
第一象限（ｘ＞０，ｙ＞０）において、次の(1)、(2)の関数ｆ（ｘ，ｙ）の等高線と直交する等高線をもつ関数ｈ（ｘ，ｙ）はそれぞれ何か。

(1)ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＾２＋ｙ＾２　（ｘ＾２はｘの２乗、ｙ＾２はｙの２乗のことです）
(2)ｆ（ｘ，ｙ）＝x／（ｘ＾２＋ｙ＾２）

答(1)は　ｈ（ｘ，ｙ）＝ｘ／ｙ　，答(2)は　ｈ（ｘ，ｙ）＝ｙ／（ｘ＾２＋ｙ＾２）
になってます。解法や解説をよろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

概略。
まず、f(x,y)の等高線を求めます。等高線は、 f(x,y)は一定ですから、
df=0=(∂f/∂x)*dx + (∂f/∂y)*dy
したがって、微分方程式
dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)
の解が等高線です。で、これに直交する曲線が満たす微分方程式は、
dy/dx = (∂f/∂y)/(∂f/∂x)
です。じゃあ、この曲線が等高線になるようなh(x,y)はと考えれば、
dh = (∂f/∂y)*dx - (∂f/∂x)*dy
なわけで、この式を積分すれば、関数h(x,y)が求まります。

補足

早速、解法ありがとうございます。(２)のdh = (∂f/∂y)*dx - (∂f/∂x)*dyから積分して、関数h(x,y)に導く過程がわかりません。計算力不足で恐縮ですが、詳細な解法をお願いいたします。