大学の数学わかる人お願いします。

質問

この問題だけがわからず、困っています。大学の数学範囲を履修済みの方どうか教えてください。<m(_ _)m>
次からがその問題文です。

以下の条件をすべて満たす関数F(x,y)の例をあげよ。
(a)関数F(x,y)は平面全体でC∞級である。
(b)関数F(x,y)は原点のみに停留点をもつ。
(c)関数F(x,y)の原点におけるHesse(ヘッセ)行列は正定値である。
(d)関数F(x,y)は原点で最小値を取らない。

答えとなる関数だけでもいいので、答えがわかった方はぜひ回答お願いします。

回答No.1

rabbit_cat

原点に極小値をもって、無限遠点で最小値になるような関数を考えればよさげ。
たとえば、
F(x,y) = x^2 + y^2 - 1/10*exp(x^2+y^2)
とか

補足

この関数だとFx(x,y)=2x*{1-1/10*exp(x^2+y^2)}, Fy(x,y)=2y*{1-1/10*exp(x^2+y^2)}から停留点を持つのが点(0,0)およびx^2;y^2=log10を満たす各点になって、(b)に反すると思うのですが… そこら辺のことをよかったら詳しく教えてください。