鉛直につるしたばねの問題

質問

質量が無視できるばね(バネ定数k)
を上端に固定し下端に質量mの小球をぶら下げる
するとばねはのびて小球は静止。
次にばねが自然長になるように鉛直上向きに引き上げt=0で静かに放す。
下向き正としてz軸をとるとする。ばねの自然長の位置をz=0とする
時刻tにおける小球の速さをv(t)、位置をz(t)とする。
また重力加速度をgとする。

(1)小球の初期条件を記せ(t=0における小球の位置と速さ)

これは静かに放したというところから

v(0)=0 z(0)=0

(2)小球の運動に関する運動方程式を記せ

md^2z/dt^2 = mg-kz

(3)v(t) z(t)を初期条件を用いて表せ

z・・=g - (k/m)・zより

z・・=-(k/m)(z - mg/k)

より解がAsin(wt-φ)
から

初期条件より　w=√[k/m]から

z(t) = Asin√[k/m]t
v(t) = A√[k/m]cos√[k/m]

(4)時刻t における小球の重力による位置エネルギーを求めよ

(5)時刻tにおける小球の運動エネルギーを求めよ
K = 1/2 m ・(A√[k/m]cos√[k/m])^2
= 1/2 m A^2(k/m)cos^2√[k/m]

(6)tにおけるばねの弾性力による位置エネルギーをもとめよ

と自力でやってみたところとお手上げのところがありました。
そもそも全て自信がありません。
ご教授お願い申し上げます。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

＞より解がAsin(wt-φ)

ここが違いますね。

＞z・・=-(k/m)(z - mg/k)

なので

z - mg/k = A sin (wt-φ)

z(t) = mg/k + A sin (wt-φ)
v(t) = A w cos (wt-φ)

z(0)=0, v(0)=0からA sinφ=mg/k, cosφ=0
sinφ>0, cosφ=0よりφ=+π/2。よってA = mg/k。

sin(wt-π/2)=-cos(wt), cos(wt-π/2)=sin(wt)ですから、

z(t) = (mg/k) [1 - cos(wt) ]
v(t) = (mg/k) w sin(wt)

お礼

間違いのご指摘だけでなく途中の代入の方法まで一連の導出過程のご教授誠にありがとうございます。
π/2の値かｒどのように数式を簡略できるかまでご指導がなければ理解することができませんでした。いつもありがとうございます。