物理（衝突） 教えてください

質問

ばね（自然長ｌ、ばね定数ｋ）でつながれた質量m1の質点Bと質量m2の質点Cがなめらかで水平な床の上に静止している。床上を速度ｖ０で滑ってきた質量m0の質点Aが質点Bに衝突（弾性衝突）した。
（１）質点B,Cの重心の座標Xとばねの伸びYは？
（２）XとYを満たす方程式は？
（３）初期条件はt＝0のときx1＝0、x2＝およびx1''=v1,x2''=0
X(t),Y(t)は？
（４）質点B、Cを質量m1＋m2の1つの物体とみなしたとき、質点Aとこの物体との跳ね返り係数eは？この値は１より小さくなる。
質点Aが持っていた運動エネルギーの一部が質点B、Cからなる質点系の（　　）の運動のエネルギーに使われるからである。（　　）に当てはまる言葉は？

質点B、Cについての運動方程式は、
mx1''=k(x2-x1-l)
mx2''=-k(x2-x1-l)と求めました。
（３）はX＝（x1+x2）/2,Y=(x1+x2-l)/2と考えましたが、間違っている場合ご指摘お願します。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

(1)(2)からやってかないとだめでしょうね。
問題でどの量が与えられてるのか定かではありませんが、図を参照して

(1)重心Xは定義から X(t) = (m1 x1(t) + m2 x2(t) )/(m1+m2)
バネの伸びYはそのまま Y(t) = x2(t) - x1(t) - l

(2) B,Cについての運動方程式はあっているので、
そのまま加えて

m1 x1''(t) + m2 x2''(t) = d^2/dt^2 (m1 x1(t) + m2 x2(t) )
= d^2/dt^2 (m1+m2) X(t) = (m1+m2) X''(t) = 0

それぞれm1, m2で割って引き算すると

x2''(t) - x1''(t) = d^2/dt^2(x2-x1) = d^2/dt^2(x2-x1-l) = -(1/m1+1/m2)k(x2-x1-l)

換算質量μが1/μ = 1/m1 + 1/m2で定義されるので, Y(t)に置き換えて

μ Y''(t) = -k Y(t)

(3)(2)の方程式から一般解を求めて

X(t) = A + Bt
Y(t) = C cosωt + Dsinωt, ω=√(k/μ)

微分して

X'(t) = B
Y'(t) = -ωC sinωt + ωDcosωt

初期条件を使って

X(0) = (m1 x1(0) + m2 x2(0) )/(m1+m2) = m2 l / (m1+m2) = A
X'(0) = (m1 x1'(0) + m2 x2'(0) )/(m1+m2) = m1 v1/(m1+m2) = B

これから

X(t) = (m2 l + m1 v1 t)/(m1+m2)

Y(0) = x2(0) - x1(0) - l = 0 = C
Y'(0) = x2'(0) - x1'(0) = -v1 = ωD ∴ D = -v1/ω

したがって

Y(t) = -(v1/ω)sinωt

(4) AとBは弾性衝突なので

(v0' - v1)/(v0 - 0) = -1

から

v0' = v1-v0

B+Cは重心を考えてはね返り係数を求めると、定義より

e = - (v0' - X'(0))/(v0-0) = -[(v1-v0)-m1v1/(m1+m2)]/v0 = 1 - m2v1/v0(m1+m2)

この値は１より小さくなる。
質点Aが持っていた運動エネルギーの一部が質点B、Cからなる質点系の（相対運動）の運動のエネルギーに使われるからである。

お礼

丁寧な解答ありがとうございました。